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Mensagem não lidapor **Lliw** » 17 Mai 2021, 14:12 · Mensagem não lida por **Lliw** » 17 Mai 2021, 14:12

Mostrar que [tex3]5n^3+7n^5\equiv0(\mod12)[/tex3] para todo inteiro [tex3]n[/tex3]

[tex3]5n^3 + 7n^5 \equiv 5n^3 - 5n^5 \mod (12) \equiv 5n^3(1-n^2) \equiv 5n^3(n+1)(n-1) \mod 12[/tex3]

basta conferir que [tex3]n^3(n-1)(n+1)[/tex3] é sempre divisível por 12 pra todo [tex3]n[/tex3] .

Se [tex3]n[/tex3] é um múltiplo de 3 par, então [tex3]n^3[/tex3] é divisível por 12
Se [tex3]n[/tex3] é um múltiplo de 3 ímpar, então [tex3]n^3[/tex3] é divisível por 3, n+1 e n-1 são divisíveis por 2, logo o produto dos 3 é divisível por 12.
Se [tex3]n = 3k +1[/tex3] e n for par, então [tex3]n-1[/tex3] é divisível por 3 e [tex3]n^3[/tex3] é divisível por 8, logo o produto é divisível por 12
Se [tex3]n = 3k+1[/tex3] for ímpar, então [tex3](n+1)(n-1)[/tex3] é divisível por 4 e por 3.
Deixo você terminar analisando [tex3]n = 3k-1[/tex3]

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Teoria dos números

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