Ensino Superiorsubespaço Tópico resolvido

Poste aqui problemas sobre assuntos estudados no Ensino Superior (exceto os cobrados em concursos públicos e escolas militares).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
thetruth
Guru
Mensagens: 450
Registrado em: Dom 02 Set, 2018 18:36
Última visita: 22-07-22
Mai 2021 16 22:42

subespaço

Mensagem não lida por thetruth »

pessoal, gostaria de saber se todas as matrizes 2x2 invertíveis são subespaço de M 2x2 [tex3]\mathbb({R})[/tex3]

e se sim, como eu mostro isso?

Última edição: thetruth (Dom 16 Mai, 2021 22:42). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
Cardoso1979
6 - Doutor
Mensagens: 4008
Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
Última visita: 04-04-23
Localização: Teresina- PI
Mai 2021 17 12:35

Re: subespaço

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

1° Modo:

Tomaremos por exemplo as seguintes matrizes:

[tex3]Q = \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right] : 1 .1-0.0 = 1 ≠ 0.[/tex3]

e

[tex3]P = \left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right] : 0.0 - 1.1 = - 1 ≠ 0.[/tex3]

Claramente se trata de duas matrizes inversíveis!

A soma resulta em;

[tex3]Q + P = \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array} \right] : 1.1 - 1.1 = 0.[/tex3]

Perceba que as duas matrizes atendem a condição de serem inversíveis , mas a soma delas não é. Logo, encontramos um contraexemplo e basta ele para notarmos que não é subespaço.




2° Modo:

Não. Vamos considerar as seguintes matrizes

[tex3]U = \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 2 \\
2 & 5
\end{array} \right] \ e \ V = \left[ \begin{array}{ccc}
-1 & 2 \\
-2 & 5
\end{array} \right].[/tex3]

ambas invertíveis!( Verifique! )

A matriz 0U é a matriz 2×2 nula e, portanto, não é invertível, e a matriz U + V tem uma coluna de zeros, portanto, tampouco é invertível.



Nota

O conjunto das matrizes n×n invertíveis não é um subespaço de M[tex3]_{nn}[/tex3](R), falhando duas vezes, por não ser fechado na adição nem na multiplicação por escalar. Ilustramos isso com um exemplo em M[tex3]_{22}[/tex3] que pode ser adaptado facilmente a M[tex3]_{nn}[/tex3].



Dois modos de resolver a sua questão! Ficará a seu critério qual você irá escolher 👍

Excelente estudo!




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Superior”