pessoal, gostaria de saber se todas as matrizes 2x2 invertíveis são subespaço de M 2x2 [tex3]\mathbb({R})[/tex3]
e se sim, como eu mostro isso?
Ensino Superior ⇒ subespaço Tópico resolvido
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Mai 2021
17
12:35
Re: subespaço
Observe
1° Modo:
Tomaremos por exemplo as seguintes matrizes:
[tex3]Q = \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right] : 1 .1-0.0 = 1 ≠ 0.[/tex3]
e
[tex3]P = \left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right] : 0.0 - 1.1 = - 1 ≠ 0.[/tex3]
Claramente se trata de duas matrizes inversíveis!
A soma resulta em;
[tex3]Q + P = \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array} \right] : 1.1 - 1.1 = 0.[/tex3]
Perceba que as duas matrizes atendem a condição de serem inversíveis , mas a soma delas não é. Logo, encontramos um contraexemplo e basta ele para notarmos que não é subespaço.
2° Modo:
Não. Vamos considerar as seguintes matrizes
[tex3]U = \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 2 \\
2 & 5
\end{array} \right] \ e \ V = \left[ \begin{array}{ccc}
-1 & 2 \\
-2 & 5
\end{array} \right].[/tex3]
ambas invertíveis!( Verifique! )
A matriz 0U é a matriz 2×2 nula e, portanto, não é invertível, e a matriz U + V tem uma coluna de zeros, portanto, tampouco é invertível.
Nota
O conjunto das matrizes n×n invertíveis não é um subespaço de M[tex3]_{nn}[/tex3](R), falhando duas vezes, por não ser fechado na adição nem na multiplicação por escalar. Ilustramos isso com um exemplo em M[tex3]_{22}[/tex3] que pode ser adaptado facilmente a M[tex3]_{nn}[/tex3].
Dois modos de resolver a sua questão! Ficará a seu critério qual você irá escolher
Excelente estudo!
1° Modo:
Tomaremos por exemplo as seguintes matrizes:
[tex3]Q = \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right] : 1 .1-0.0 = 1 ≠ 0.[/tex3]
e
[tex3]P = \left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right] : 0.0 - 1.1 = - 1 ≠ 0.[/tex3]
Claramente se trata de duas matrizes inversíveis!
A soma resulta em;
[tex3]Q + P = \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array} \right] : 1.1 - 1.1 = 0.[/tex3]
Perceba que as duas matrizes atendem a condição de serem inversíveis , mas a soma delas não é. Logo, encontramos um contraexemplo e basta ele para notarmos que não é subespaço.
2° Modo:
Não. Vamos considerar as seguintes matrizes
[tex3]U = \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 2 \\
2 & 5
\end{array} \right] \ e \ V = \left[ \begin{array}{ccc}
-1 & 2 \\
-2 & 5
\end{array} \right].[/tex3]
ambas invertíveis!( Verifique! )
A matriz 0U é a matriz 2×2 nula e, portanto, não é invertível, e a matriz U + V tem uma coluna de zeros, portanto, tampouco é invertível.
Nota
O conjunto das matrizes n×n invertíveis não é um subespaço de M[tex3]_{nn}[/tex3](R), falhando duas vezes, por não ser fechado na adição nem na multiplicação por escalar. Ilustramos isso com um exemplo em M[tex3]_{22}[/tex3] que pode ser adaptado facilmente a M[tex3]_{nn}[/tex3].
Dois modos de resolver a sua questão! Ficará a seu critério qual você irá escolher
Excelente estudo!
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