Peço uma ajudinha desse exercício que retirei duma lista da faculdade, e não consigo resolver
Calcule ∫∫R √(1−x2−y2)dA onde R é o disco x2+y2≤1. O valor da integral obtido se refere ao volume de qual sólido?
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Cálculo 2 - Outra dúvida sobre calculo de volumes Tópico resolvido
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Mai 2021
16
23:58
Re: Cálculo 2 - Outra dúvida sobre calculo de volumes
Observe
Uma solução:
Passando para coordenadas polares, temos que;
x = r.cos(θ) e y = r.sen(θ)
Substituindo em x² + y² = 1 , vem;
r².cos²(θ) + r².sen²(θ) = 1
r².[ cos²(θ) + sen²(θ) ] = 1
r².1 = 1
r = ± 1
Como r é positivo ( obviamente ) , logo r = 1 , então,
0 ≤ r ≤ 1.
Por outro lado,
0 ≤ θ ≤ 2π ( volta completa do disco x² + y² = 1 , pois não há restrição ).
Assim,
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(1-r^2).r \ drd\theta [/tex3]
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(r-r^3)\ drd\theta [/tex3]
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\left[\frac{r^2}{2}
- \frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1}d\theta [/tex3]
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\left(\frac{1}{2}
- \frac{1}{4}-0+0\right)d\theta [/tex3]
[tex3]V = \frac{1}{4}.\int\limits_{0}^{2π}d\theta [/tex3]
[tex3]V = \frac{1}{4}.[\theta ]_{0}^{2π} = \frac{1}{4}.(2π-0) = \frac{2π}{4} = \frac{π}{2}[/tex3] .
Portanto , o volume do sólido é : V = [tex3]\frac{π}{2} \ u.v.[/tex3] .
Graficamente:
Como [tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}(1-x^2-y^2) \ dA[/tex3] , então [tex3]V = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}dxdy\int\limits_{
0}^{1-x^2-y^2}\ dz[/tex3] , ou seja ,
0 ≤ z ≤ 1 - x² - y² , z = 0 significa dizer que o sólido está acima do plano xy( z = 0 ) , em outras palavras z = 0 funciona como uma espécie de uma "tampa" ( ou "piso" ) do sólido. O sólido é formado pela interseção do plano z = 0 com o parabolóide z = 1 - x² - y² e o mesmo está localizado acima do plano xy.
A região R : x² + y² ≤ 1 é justamente a projeção do sólido sobre o plano xy , perceba que fazendo z = 0 em z = 1 - x² - y² , temos:
0 = 1 - x² - y²
x² + y² = 1
Ou
x² + y² ≤ 1 ( região interna desse disco ).
Obs. x² + y² = r² , e o jacobiano é o mesmo da questão anterior postada por você. Você pode encontrar o desenvolvimento desse jacobiano aqui mesmo no fórum ou em PDF no Google,
Excelente estudo!
Uma solução:
Passando para coordenadas polares, temos que;
x = r.cos(θ) e y = r.sen(θ)
Substituindo em x² + y² = 1 , vem;
r².cos²(θ) + r².sen²(θ) = 1
r².[ cos²(θ) + sen²(θ) ] = 1
r².1 = 1
r = ± 1
Como r é positivo ( obviamente ) , logo r = 1 , então,
0 ≤ r ≤ 1.
Por outro lado,
0 ≤ θ ≤ 2π ( volta completa do disco x² + y² = 1 , pois não há restrição ).
Assim,
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(1-r^2).r \ drd\theta [/tex3]
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(r-r^3)\ drd\theta [/tex3]
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\left[\frac{r^2}{2}
- \frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1}d\theta [/tex3]
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\left(\frac{1}{2}
- \frac{1}{4}-0+0\right)d\theta [/tex3]
[tex3]V = \frac{1}{4}.\int\limits_{0}^{2π}d\theta [/tex3]
[tex3]V = \frac{1}{4}.[\theta ]_{0}^{2π} = \frac{1}{4}.(2π-0) = \frac{2π}{4} = \frac{π}{2}[/tex3] .
Portanto , o volume do sólido é : V = [tex3]\frac{π}{2} \ u.v.[/tex3] .
Graficamente:
Como [tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}(1-x^2-y^2) \ dA[/tex3] , então [tex3]V = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}dxdy\int\limits_{
0}^{1-x^2-y^2}\ dz[/tex3] , ou seja ,
0 ≤ z ≤ 1 - x² - y² , z = 0 significa dizer que o sólido está acima do plano xy( z = 0 ) , em outras palavras z = 0 funciona como uma espécie de uma "tampa" ( ou "piso" ) do sólido. O sólido é formado pela interseção do plano z = 0 com o parabolóide z = 1 - x² - y² e o mesmo está localizado acima do plano xy.
A região R : x² + y² ≤ 1 é justamente a projeção do sólido sobre o plano xy , perceba que fazendo z = 0 em z = 1 - x² - y² , temos:
0 = 1 - x² - y²
x² + y² = 1
Ou
x² + y² ≤ 1 ( região interna desse disco ).
Obs. x² + y² = r² , e o jacobiano é o mesmo da questão anterior postada por você. Você pode encontrar o desenvolvimento desse jacobiano aqui mesmo no fórum ou em PDF no Google,
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