Ensino Superior ⇒ Cálculo 2 - Outra dúvida sobre calculo de volumes Tópico resolvido

[demidovich12]

Peço uma ajudinha desse exercício que retirei duma lista da faculdade, e não consigo resolver

Calcule ∫∫_R √(1−x²−y²)dA onde R é o disco x²+y²≤1. O valor da integral obtido se refere ao volume de qual sólido?

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Passando para coordenadas polares, temos que;

x = r.cos(θ) e y = r.sen(θ)

Substituindo em x² + y² = 1 , vem;

r².cos²(θ) + r².sen²(θ) = 1

r².[ cos²(θ) + sen²(θ) ] = 1

r².1 = 1

r = ± 1

Como r é positivo ( obviamente ) , logo r = 1 , então,

0 ≤ r ≤ 1.

Por outro lado,

0 ≤ θ ≤ 2π ( volta completa do disco x² + y² = 1 , pois não há restrição ).

Assim,

[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(1-r^2).r \ drd\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(1-r^2).r \ drd\theta [/tex3]

[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(r-r^3)\ drd\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(r-r^3)\ drd\theta [/tex3]

[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\left[\frac{r^2}{2}
- \frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1}d\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\left[\frac{r^2}{2}
- \frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1}d\theta [/tex3]

[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\left(\frac{1}{2}
- \frac{1}{4}-0+0\right)d\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\left(\frac{1}{2}
- \frac{1}{4}-0+0\right)d\theta [/tex3]

[tex3]V = \frac{1}{4}.\int\limits_{0}^{2π}d\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V = \frac{1}{4}.\int\limits_{0}^{2π}d\theta [/tex3]

[tex3]V = \frac{1}{4}.[\theta ]_{0}^{2π} = \frac{1}{4}.(2π-0) = \frac{2π}{4} = \frac{π}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V = \frac{1}{4}.[\theta ]_{0}^{2π} = \frac{1}{4}.(2π-0) = \frac{2π}{4} = \frac{π}{2}[/tex3]

.

Portanto , o volume do sólido é : V = [tex3]\frac{π}{2} \ u.v.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{π}{2} \ u.v.[/tex3]

.


Graficamente:

Screenshot_20210516-232248.png (94.45 KiB) Exibido 6001 vezes

Como [tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}(1-x^2-y^2) \ dA[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}(1-x^2-y^2) \ dA[/tex3]

, então [tex3]V = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}dxdy\int\limits_{
0}^{1-x^2-y^2}\ dz[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}dxdy\int\limits_{
0}^{1-x^2-y^2}\ dz[/tex3]

, ou seja ,

0 ≤ z ≤ 1 - x² - y² , z = 0 significa dizer que o sólido está acima do plano xy( z = 0 ) , em outras palavras z = 0 funciona como uma espécie de uma "tampa" ( ou "piso" ) do sólido. O sólido é formado pela interseção do plano z = 0 com o parabolóide z = 1 - x² - y² e o mesmo está localizado acima do plano xy.

A região R : x² + y² ≤ 1 é justamente a projeção do sólido sobre o plano xy , perceba que fazendo z = 0 em z = 1 - x² - y² , temos:

0 = 1 - x² - y²

x² + y² = 1

Ou

x² + y² ≤ 1 ( região interna desse disco ).


Obs. x² + y² = r² , e o jacobiano é o mesmo da questão anterior postada por você. Você pode encontrar o desenvolvimento desse jacobiano aqui mesmo no fórum ou em PDF no Google,


Excelente estudo!