Ensino Superior ⇒ [INTEGRAL DUPLA] - Cálculo de Área Tópico resolvido

[bsabrunosouza]

Poderia me ajudar para resolver tal questão?

[tex3]B =\{(x,y) | ln(x) \leq z \leq ln(x+1), y \geq 0\text{ e } x \leq e\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B =\{(x,y) | ln(x) \leq z \leq ln(x+1), y \geq 0\text{ e } x \leq e\}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]e+e^{-1} -1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]e+e^{-1} -1[/tex3]

[Cardoso1979]

[tex3]B =\{(x,y) | ln(x) \leq z \leq ln(x+1), y \geq 0\text{ e } x \leq e\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B =\{(x,y) | ln(x) \leq z \leq ln(x+1), y \geq 0\text{ e } x \leq e\}[/tex3]

Tem algo errado aí! Se é ( x , y ) , ou seja , no plano IR² , como pode ser ln(x) ≤ z ≤ ln(x+1) ?? E tem mais outro problema, mesmo que seja ( que eu tenho certeza que é ) ... ≤ y ≤ ... o resultado não bate com o gabarito postado por você!

Se for B = { (x,y) | ln(x) ≤ y ≤ ln(x+1), y ≥ 0 e x ≤ e } , a resposta seria:


A = ( e + 1 ).ln( e + 1 ) - e - 1.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

A região B é na realidade :

[tex3]B =\{(x,y) | ln(x) \leq y \leq 1 + ln(x), y \geq 0\text{ e } x \leq e\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B =\{(x,y) | ln(x) \leq y \leq 1 + ln(x), y \geq 0\text{ e } x \leq e\}[/tex3]

.

Agora sim é possível obter o gabarito postado por você!

Screenshot_20210511-150815.png (46.64 KiB) Exibido 834 vezes

Analisando o gráfico ( a região ) acima, a área pedida é dada por

[tex3]A = \int\limits_{\frac{1}{e}}^{1}\int\limits_{0}^{1+ln(x)}dydx \ + \int\limits_{1}^{e}\int\limits_{ln(x)}^{1+ln(x)}dydx =
\left(\frac{1}{e} + e - 1\right)u.a.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \int\limits_{\frac{1}{e}}^{1}\int\limits_{0}^{1+ln(x)}dydx \ + \int\limits_{1}^{e}\int\limits_{ln(x)}^{1+ln(x)}dydx =
\left(\frac{1}{e} + e - 1\right)u.a.[/tex3]

.

Também está correto caso você proceda da seguinte maneira:

[tex3]A = \int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}\int\limits_{0}^{1+ln(x)}dydx \ - \int\limits_{1}^{e}\int\limits_{0}^{ln(x)}dydx =
\left(e^{-1} + e - 1\right)u.a.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}\int\limits_{0}^{1+ln(x)}dydx \ - \int\limits_{1}^{e}\int\limits_{0}^{ln(x)}dydx =
\left(e^{-1} + e - 1\right)u.a.[/tex3]

.

Nota

A construção e a análise do gráfico ( esboço da região ) é extremamente importante na resolução deste tipo de questão.



Excelente estudo!