Ensino Superior ⇒ Limite de sequência Tópico resolvido
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Mai 2021
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15:21
Limite de sequência
Usando a definição de limite de uma sequência, mostre que a sequência (1, -1, 1, -1,...) é divergente.
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Mai 2021
13
21:26
Re: Limite de sequência
Observe
A sequência ( 1 , - 1 , 1 , - 1 , ... ) pode ser representada da seguinte forma: { [tex3]a_{n}[/tex3] } = { ( - 1 )[tex3]^{n+1}[/tex3] }[tex3]_{n = 1}^{∞}[/tex3] .
Uma solução:
Suponhamos que a sequência convirja para algum número L. Escolhendo ε = 1/2 na definição do limite, todos os termos [tex3]a_{n}[/tex3] da sequência com índice n maior que um N devem se localizar a menos de ε = 1/2 de L. Uma vez que o número 1 aparece repetidamente como termo sim, termo não da sequência, devemos ter o número 1 localizado a uma distância a menos de ε = 1/2 de L.
Segue que | L - 1 | < 1/2 ou, de forma equivalente, 1/2 < L < 3/2. Da mesma forma, o número -1 aparece repetidamente na sequência com índice arbitrariamente alto. Dessa forma, devemos ainda ter que | L - ( - 1 ) | < 1/2 ou, de forma equivalente,
- 3/2 < L < - 1/2. Entretanto, o número L não pode estar em ambos os intervalos (1/2, 3/2) e (-3/2, -1/2), uma vez que eles não possuem uma superposição. Dessa forma, não existe tal limite L e portanto a sequência diverge. C.q.m.
Nota
Perceba que o mesmo argumento funciona para qualquer número positivo ε menor que 1, não somente 1/2.
Você pode resumir da seguinte maneira( menos blá blá blá ) :
[tex3]a_{n} = \begin{cases}
1 \ , \ se \ n \ é \ ímpar\\
\\
-1 \ , \ se \ n \ é \ par
\end{cases}[/tex3]
[tex3]a_{n}[/tex3] → L quando : “∀ ε > 0 ∃ [tex3]n_{0}[/tex3] ∈ IN , tal que : n ≥ [tex3]n_{0}[/tex3] ⇒ L - ε < [tex3]a_{n}[/tex3] < L + ε”.
Seja L ∈ IR. Suponha que [tex3]a_{n}[/tex3] → L ( [tex3]a_{n}[/tex3] convirja para um número L ) . Tome
ε = 1/2 . Existe [tex3]n_{0}[/tex3] ∈ IN tal que
n ≥ [tex3]n_{0}[/tex3] e ímpar ⇒ [tex3]L - \frac{1}{2}< 1 < L + \frac{1}{2}[/tex3]
e
n ≥ [tex3]n_{0}[/tex3] e par ⇒ [tex3]L - \frac{1}{2}< - 1 < L + \frac{1}{2}[/tex3] .
Pegando [tex3]1 < L + \frac{1}{2}[/tex3] e
[tex3]L - \frac{1}{2}< - 1 [/tex3] , resulta que
[tex3]\frac{1}{2}< L < - \frac{1}{2}[/tex3] .
Claramente a desigualdade acima é um absurdo!! Portanto, podemos então concluir que a sequência ( 1 , - 1 , 1 , - 1 , ... ) diverge! C.q.m.
Outra maneira:( analisando o gráfico )
O gráfico da sequência dada é mostrado na figura acima. Uma vez que os termos oscilam entre 1 e - 1 com frequência indefinida, [tex3]a_{n}[/tex3] não se aproxima de nenhum número. Logo [tex3]\lim_{n \rightarrow + \infty}(-1)^{n+1}[/tex3] não existe; ou seja, a sequência { ( - 1 )[tex3]^{n+1}[/tex3] }[tex3]_{n = 1}^{∞}[/tex3] é divergente. C q.m.
Excelente estudo!
A sequência ( 1 , - 1 , 1 , - 1 , ... ) pode ser representada da seguinte forma: { [tex3]a_{n}[/tex3] } = { ( - 1 )[tex3]^{n+1}[/tex3] }[tex3]_{n = 1}^{∞}[/tex3] .
Uma solução:
Suponhamos que a sequência convirja para algum número L. Escolhendo ε = 1/2 na definição do limite, todos os termos [tex3]a_{n}[/tex3] da sequência com índice n maior que um N devem se localizar a menos de ε = 1/2 de L. Uma vez que o número 1 aparece repetidamente como termo sim, termo não da sequência, devemos ter o número 1 localizado a uma distância a menos de ε = 1/2 de L.
Segue que | L - 1 | < 1/2 ou, de forma equivalente, 1/2 < L < 3/2. Da mesma forma, o número -1 aparece repetidamente na sequência com índice arbitrariamente alto. Dessa forma, devemos ainda ter que | L - ( - 1 ) | < 1/2 ou, de forma equivalente,
- 3/2 < L < - 1/2. Entretanto, o número L não pode estar em ambos os intervalos (1/2, 3/2) e (-3/2, -1/2), uma vez que eles não possuem uma superposição. Dessa forma, não existe tal limite L e portanto a sequência diverge. C.q.m.
Nota
Perceba que o mesmo argumento funciona para qualquer número positivo ε menor que 1, não somente 1/2.
Você pode resumir da seguinte maneira( menos blá blá blá ) :
[tex3]a_{n} = \begin{cases}
1 \ , \ se \ n \ é \ ímpar\\
\\
-1 \ , \ se \ n \ é \ par
\end{cases}[/tex3]
[tex3]a_{n}[/tex3] → L quando : “∀ ε > 0 ∃ [tex3]n_{0}[/tex3] ∈ IN , tal que : n ≥ [tex3]n_{0}[/tex3] ⇒ L - ε < [tex3]a_{n}[/tex3] < L + ε”.
Seja L ∈ IR. Suponha que [tex3]a_{n}[/tex3] → L ( [tex3]a_{n}[/tex3] convirja para um número L ) . Tome
ε = 1/2 . Existe [tex3]n_{0}[/tex3] ∈ IN tal que
n ≥ [tex3]n_{0}[/tex3] e ímpar ⇒ [tex3]L - \frac{1}{2}< 1 < L + \frac{1}{2}[/tex3]
e
n ≥ [tex3]n_{0}[/tex3] e par ⇒ [tex3]L - \frac{1}{2}< - 1 < L + \frac{1}{2}[/tex3] .
Pegando [tex3]1 < L + \frac{1}{2}[/tex3] e
[tex3]L - \frac{1}{2}< - 1 [/tex3] , resulta que
[tex3]\frac{1}{2}< L < - \frac{1}{2}[/tex3] .
Claramente a desigualdade acima é um absurdo!! Portanto, podemos então concluir que a sequência ( 1 , - 1 , 1 , - 1 , ... ) diverge! C.q.m.
Outra maneira:( analisando o gráfico )
O gráfico da sequência dada é mostrado na figura acima. Uma vez que os termos oscilam entre 1 e - 1 com frequência indefinida, [tex3]a_{n}[/tex3] não se aproxima de nenhum número. Logo [tex3]\lim_{n \rightarrow + \infty}(-1)^{n+1}[/tex3] não existe; ou seja, a sequência { ( - 1 )[tex3]^{n+1}[/tex3] }[tex3]_{n = 1}^{∞}[/tex3] é divergente. C q.m.
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