Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Limite de sequência Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Marcos2812
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Mai 2021
10
15:21
Limite de sequência
Usando a definição de limite de uma sequência, mostre que a sequência (1, -1, 1, -1,...) é divergente.
-
Cardoso1979
- Mensagens: 4008
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Mai 2021
13
21:26
Re: Limite de sequência
Observe
A sequência ( 1 , - 1 , 1 , - 1 , ... ) pode ser representada da seguinte forma: { [tex3]a_{n}[/tex3] } = { ( - 1 )[tex3]^{n+1}[/tex3] }[tex3]_{n = 1}^{∞}[/tex3] .
Uma solução:
Suponhamos que a sequência convirja para algum número L. Escolhendo ε = 1/2 na definição do limite, todos os termos [tex3]a_{n}[/tex3] da sequência com índice n maior que um N devem se localizar a menos de ε = 1/2 de L. Uma vez que o número 1 aparece repetidamente como termo sim, termo não da sequência, devemos ter o número 1 localizado a uma distância a menos de ε = 1/2 de L.
Segue que | L - 1 | < 1/2 ou, de forma equivalente, 1/2 < L < 3/2. Da mesma forma, o número -1 aparece repetidamente na sequência com índice arbitrariamente alto. Dessa forma, devemos ainda ter que | L - ( - 1 ) | < 1/2 ou, de forma equivalente,
- 3/2 < L < - 1/2. Entretanto, o número L não pode estar em ambos os intervalos (1/2, 3/2) e (-3/2, -1/2), uma vez que eles não possuem uma superposição. Dessa forma, não existe tal limite L e portanto a sequência diverge. C.q.m.
Nota
Perceba que o mesmo argumento funciona para qualquer número positivo ε menor que 1, não somente 1/2.
Você pode resumir da seguinte maneira( menos blá blá blá ) :
[tex3]a_{n} = \begin{cases}
1 \ , \ se \ n \ é \ ímpar\\
\\
-1 \ , \ se \ n \ é \ par
\end{cases}[/tex3]
[tex3]a_{n}[/tex3] → L quando : “∀ ε > 0 ∃ [tex3]n_{0}[/tex3] ∈ IN , tal que : n ≥ [tex3]n_{0}[/tex3] ⇒ L - ε < [tex3]a_{n}[/tex3] < L + ε”.
Seja L ∈ IR. Suponha que [tex3]a_{n}[/tex3] → L ( [tex3]a_{n}[/tex3] convirja para um número L ) . Tome
ε = 1/2 . Existe [tex3]n_{0}[/tex3] ∈ IN tal que
n ≥ [tex3]n_{0}[/tex3] e ímpar ⇒ [tex3]L - \frac{1}{2}< 1 < L + \frac{1}{2}[/tex3]
e
n ≥ [tex3]n_{0}[/tex3] e par ⇒ [tex3]L - \frac{1}{2}< - 1 < L + \frac{1}{2}[/tex3] .
Pegando [tex3]1 < L + \frac{1}{2}[/tex3] e
[tex3]L - \frac{1}{2}< - 1 [/tex3] , resulta que
[tex3]\frac{1}{2}< L < - \frac{1}{2}[/tex3] .
Claramente a desigualdade acima é um absurdo!! Portanto, podemos então concluir que a sequência ( 1 , - 1 , 1 , - 1 , ... ) diverge! C.q.m.
Outra maneira:( analisando o gráfico )
O gráfico da sequência dada é mostrado na figura acima. Uma vez que os termos oscilam entre 1 e - 1 com frequência indefinida, [tex3]a_{n}[/tex3] não se aproxima de nenhum número. Logo [tex3]\lim_{n \rightarrow + \infty}(-1)^{n+1}[/tex3] não existe; ou seja, a sequência { ( - 1 )[tex3]^{n+1}[/tex3] }[tex3]_{n = 1}^{∞}[/tex3] é divergente. C q.m.
Excelente estudo!
A sequência ( 1 , - 1 , 1 , - 1 , ... ) pode ser representada da seguinte forma: { [tex3]a_{n}[/tex3] } = { ( - 1 )[tex3]^{n+1}[/tex3] }[tex3]_{n = 1}^{∞}[/tex3] .
Uma solução:
Suponhamos que a sequência convirja para algum número L. Escolhendo ε = 1/2 na definição do limite, todos os termos [tex3]a_{n}[/tex3] da sequência com índice n maior que um N devem se localizar a menos de ε = 1/2 de L. Uma vez que o número 1 aparece repetidamente como termo sim, termo não da sequência, devemos ter o número 1 localizado a uma distância a menos de ε = 1/2 de L.
Segue que | L - 1 | < 1/2 ou, de forma equivalente, 1/2 < L < 3/2. Da mesma forma, o número -1 aparece repetidamente na sequência com índice arbitrariamente alto. Dessa forma, devemos ainda ter que | L - ( - 1 ) | < 1/2 ou, de forma equivalente,
- 3/2 < L < - 1/2. Entretanto, o número L não pode estar em ambos os intervalos (1/2, 3/2) e (-3/2, -1/2), uma vez que eles não possuem uma superposição. Dessa forma, não existe tal limite L e portanto a sequência diverge. C.q.m.
Nota
Perceba que o mesmo argumento funciona para qualquer número positivo ε menor que 1, não somente 1/2.
Você pode resumir da seguinte maneira( menos blá blá blá ) :
[tex3]a_{n} = \begin{cases}
1 \ , \ se \ n \ é \ ímpar\\
\\
-1 \ , \ se \ n \ é \ par
\end{cases}[/tex3]
[tex3]a_{n}[/tex3] → L quando : “∀ ε > 0 ∃ [tex3]n_{0}[/tex3] ∈ IN , tal que : n ≥ [tex3]n_{0}[/tex3] ⇒ L - ε < [tex3]a_{n}[/tex3] < L + ε”.
Seja L ∈ IR. Suponha que [tex3]a_{n}[/tex3] → L ( [tex3]a_{n}[/tex3] convirja para um número L ) . Tome
ε = 1/2 . Existe [tex3]n_{0}[/tex3] ∈ IN tal que
n ≥ [tex3]n_{0}[/tex3] e ímpar ⇒ [tex3]L - \frac{1}{2}< 1 < L + \frac{1}{2}[/tex3]
e
n ≥ [tex3]n_{0}[/tex3] e par ⇒ [tex3]L - \frac{1}{2}< - 1 < L + \frac{1}{2}[/tex3] .
Pegando [tex3]1 < L + \frac{1}{2}[/tex3] e
[tex3]L - \frac{1}{2}< - 1 [/tex3] , resulta que
[tex3]\frac{1}{2}< L < - \frac{1}{2}[/tex3] .
Claramente a desigualdade acima é um absurdo!! Portanto, podemos então concluir que a sequência ( 1 , - 1 , 1 , - 1 , ... ) diverge! C.q.m.
Outra maneira:( analisando o gráfico )
- Screenshot_20210512-112752.png (22.5 KiB) Exibido 1922 vezes
O gráfico da sequência dada é mostrado na figura acima. Uma vez que os termos oscilam entre 1 e - 1 com frequência indefinida, [tex3]a_{n}[/tex3] não se aproxima de nenhum número. Logo [tex3]\lim_{n \rightarrow + \infty}(-1)^{n+1}[/tex3] não existe; ou seja, a sequência { ( - 1 )[tex3]^{n+1}[/tex3] }[tex3]_{n = 1}^{∞}[/tex3] é divergente. C q.m.
Excelente estudo!
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