Ensino SuperiorTeoria dos números Tópico resolvido

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Lliw
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Mai 2021 08 13:26

Teoria dos números

Mensagem não lida por Lliw »

Prove que para nenhum [tex3]n\in\mathbb{N}[/tex3] [tex3]7|4n^2-3[/tex3]




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deOliveira
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Mai 2021 08 16:41

Re: Teoria dos números

Mensagem não lida por deOliveira »

Seja [tex3]n\in\mathbb N[/tex3] dado. Sabemos que [tex3]7|A\iff A\equiv 0(\mod 7)[/tex3]
Temos que [tex3]n\equiv k(\mod 7)[/tex3] para algum [tex3]k\in\{0,1,2,3,4,5,6\}[/tex3] .
Usando as propriedades das congruências:
Então temos que [tex3]n^2\equiv k'(\mod 7)[/tex3] com [tex3]k'\in\{0,1,2,4\}[/tex3] ( elevando cada [tex3]k\in\{0,1,2,3,4,5,6\}[/tex3] e reduzindo módulo 7).
Assim, temos que [tex3]4n^2\equiv k''(\mod 7)[/tex3] com [tex3]k''\in\{0,1,2,4\}[/tex3] (multiplicando cada [tex3]k'\in\{0,1,2,4\}[/tex3] por 4 e reduzindo módulo 7).
E por fim, [tex3]4n^2-3\equiv k'''(\mod 7)[/tex3] com [tex3]k'''\in\{1,4,5,6\}[/tex3] ( subtraindo 3 de cada [tex3]k''\in\{0,1,2,4\}[/tex3] e reduzindo módulo 7).
Como [tex3]0\not \in \{1,4,5,6\}[/tex3] temos que [tex3]7\not|4n^2-3[/tex3] .

Espero ter ajudado.

Última edição: deOliveira (Sáb 08 Mai, 2021 16:53). Total de 1 vez.


Saudações.

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Lliw
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Re: Teoria dos números

Mensagem não lida por Lliw »

deOliveira escreveu:
Sáb 08 Mai, 2021 16:41
Então temos que n2≡k′(mod7)n2≡k′(mod⁡7) com k′∈{0,1,2,4}k′∈{0,1,2,4} ( elevando cada k∈{0,1,2,3,4,5,6}k∈{0,1,2,3,4,5,6} e reduzindo módulo 7).
Poderia me explicar essa passagem ? pois não entendi pq k' passou a ser {0,1,2,4}



FelipeMartin
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Mai 2021 09 23:03

Re: Teoria dos números

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Lliw, [tex3]\{0,1,2,3,4,5,6\} \rightarrow \{0,1,4,9,16,25,36\} \rightarrow \mod 7 \rightarrow \{ 0,1,4,2,2,4,1\} = \{0,1,2,4\}[/tex3]
Última edição: FelipeMartin (Dom 09 Mai, 2021 23:04). Total de 1 vez.


φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

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Lliw
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Re: Teoria dos números

Mensagem não lida por Lliw »

Obrigado deOliveira e FelipeMartin, ajudaram mt




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