Ensino Superior ⇒ Algebra Linear - Transformacao linear Tópico resolvido

[Israfel]

Encontre a transformacao linear T :[tex3]\mathbb{R^{3}}\rightarrow\mathbb{R}^{3} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbb{R^{3}}\rightarrow\mathbb{R}^{3} [/tex3]

tal que o vetor u =(1,1,2) [tex3]\in [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\in [/tex3]

N(T) e a imagem de T seja gerada pelos vetores v=(1,1,0) e w=(0,-1,-1).
Nao consegui entender como o autor chegou a
[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

(1,1,2)+[tex3]\left(x-\frac{z}{2}\right)[/tex3](1,0,0)+[tex3]\left(y-\frac{z}{2}\right)[/tex3](0,1,0)
eu utilizei a substituicao para o sistema e encontrei [tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

, porem fiquei confuso com os outros valores na frente do vetor.

Resposta

---

como (1,1,2) [tex3]\in [/tex3]

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[tex3]\in [/tex3]

N(T) = T (1,1,2)=(0,0,0)
Considere T(1,0,0)=(1,1,0) e T(0,1,0) = (0,-1,-1)

Conjunto {(1,1,2),(1,0,0),(0,1,0)} e uma base de [tex3]\mathbb{R}^{3}[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}^{3}[/tex3]

, e para (x,y,z) [tex3]\in \mathbb{R}^{3}[/tex3]

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[tex3]\in \mathbb{R}^{3}[/tex3]

aqui eu nao entendi
temos (x,y,z) = [tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

(1,1,2)+(x-[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

)(1,0,0)+(y-[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

)(0,1,0).

Dai,
aqui eu tambem nao entendi
T(x,y,z) = [tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

T(1,1,2)+(x-[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

)T(1,0,0)+(y-[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

)T(0,1,0).
T(x,y,z) = [tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

(0,0,0)+(x-[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

)(1,1,0)+(y-[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

)T(0,-1,-1).
T(x,y,z) = [tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

(0,0,0)+(x-[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

)(1,1,0)+(y-[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

)T(0,-1,-1).
T(x,y,z) = (X-[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

,x-y,[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

-y)

[Cardoso1979]

Observe

Uma explicação:

Os vetores ( 1 , 0 , 0 ) e ( 0 , 1 , 0 ) foram escolhidos aleatoriamente pelo autor, você poderia escolher outros vetores, contanto que eles formem juntamente com o vetor u = ( 1 , 1 , 2 ) uma base de IR³( verifique! ).

Devemos então escrever um vetor genérico ( x , y , z ) como combinação linear dos vetores do conjunto {(1,1,2),(1,0,0),(0,1,0)}, vem

( x , y , z ) = a.( 1 , 1 , 2 ) + b.( 1 , 0 , 0 ) + c.( 0 , 1 , 0 )

Que resulta no seguinte sistema

[tex3]\begin{cases}
a + b = x \\
a + c = y \\
2a = z
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
a + b = x \\
a + c = y \\
2a = z
\end{cases}[/tex3]

Desenvolvendo você irá obter

a = [tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

, b = [tex3]x -\frac{z}{2}[/tex3]

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[tex3]x -\frac{z}{2}[/tex3]

e c = [tex3]y -\frac{z}{2}[/tex3]

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[tex3]y -\frac{z}{2}[/tex3]

.

Agora basta substituir esses valores encontrados acima em ( x , y , z ) = a.( 1 , 1 , 2 ) + b.( 1 , 0 , 0 ) + c.( 0 , 1 , 0 ) , aplicar a linearidade , a definição de núcleo e imagem ( atente para o que o autor diz no enunciado ) de uma T.L.

Nota ( importante !!! )

A T.L. T( x , y , z ) = ( x - [tex3]\frac{z}{2}[/tex3] , x - y , [tex3]\frac{z}{2}[/tex3] - y ) não é única, existem infinitas T.L. com essa propriedade( tente encontrar outras )




Cuidado!!

T(x,y,z) = [tex3]\frac{z}{2}[/tex3](0,0,0)+(x- [tex3]\frac{z}{2}[/tex3])(1,1,0)+(y- [tex3]\frac{z}{2}[/tex3] )T(0,-1,-1) → a partir do momento que você aplica a linearidade o "T" some, suponho que tenha sido erro ( esquecimento ).





Boa sorte e excelente estudo!

[Israfel]

Ola Cardoso1979, Obrigado pela ajuda e por seu tempo.
Realmente eu esqueci o T.
Com relacao ao x - y , como ele foi obtido ?

[Cardoso1979]

Ola Cardoso1979, Obrigado pela ajuda e por seu tempo.
Realmente eu esqueci o T.
Com relacao ao x - y , como ele foi obtido ?

Ué! Bem simples! Basta desenvolver isto:

T(x,y,z) = [tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

.( 0 , 0 , 0 ) + ( x- [tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

).( 1 , 1 , 0 ) + ( y - [tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{z}{2}[/tex3]

).( 0 , - 1 , - 1 )

Mais fácil do que tirar chupeta de uma criança!