Ensino Superior ⇒ Cálculo 1 Tópico resolvido
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Cardoso1979 
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Mai 2021
08
00:49
Re: Cálculo 1
Observe
Uma prova:
Nesta questão devemos provar que [tex3]\sqrt[n]{x}[/tex3] está compreendido dentro do intervalo continuo de uma função. Devemos provar também que f é contínua em todo p dado , onde p é um ponto da função, para isso , devemos provar que para qualquer [tex3]\epsilon [/tex3] > 0 exista um intervalo aberto [tex3]I[/tex3] que contenha p e satisfaça :
[tex3]x\in I ⇒ \sqrt[n]{p} \ - \ \epsilon < \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{p} \ + \ \epsilon [/tex3]
Temos que resolver a inequação , mas perceba que há comportamentos diferentes de f para n ímpar ou n par , vamos analisar então cada caso separadamente:
1° Caso : n é ímpar
Sendo n ímpar , temos :
[tex3]\sqrt[n]{p} \ - \ \epsilon < \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{p} \ + \ \epsilon [/tex3] ⇒
[tex3]( \sqrt[n]{p} \ - \ \epsilon )^n < x < ( \sqrt[n]{p} \ + \ \epsilon )^n [/tex3]
Assim , podemos tomar nosso conjunto aberto [tex3]I[/tex3] como
[tex3]I = \ ] \ ( \sqrt[n]{p} \ - \ \epsilon )^n \ ; \ ( \sqrt[n]{p} \ + \ \epsilon )^n \ [[/tex3] .
Então, para todo x temos que
[tex3]x\in I ⇒ \sqrt[n]{p} \ - \ \epsilon < \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{p} \ + \ \epsilon [/tex3]
Logo, f é contínua em todo p real quando n é ímpar.
2° Caso : n é par
Lembrando que neste caso, não existe raiz com índice par de número negativo, então teremos sempre x ≥ 0 , ou seja , iremos estudar apenas os valores positivos de p e ele no ponto zero. Daí , para [tex3]\epsilon [/tex3] > 0, vem;
Para p = 0 :
[tex3]- \ \epsilon < \sqrt[n]{x} < + \ \epsilon [/tex3] .
Como [tex3](-\epsilon )^2 = (+\epsilon )^2 [/tex3] , temos que
0 ≤ x < [tex3]\epsilon^n[/tex3] .
Assim, podemos tomar nosso conjunto aberto [tex3]I[/tex3] como:
[tex3]I = \ ] \ 0 \ ; \ \epsilon ^n \ [[/tex3] .
Então, para todo x temos que
[tex3]x\in I ⇒ x^n < \ \epsilon [/tex3]
Logo, f é contínua em p = 0.
Para p > 0 , temos que para todo [tex3]\epsilon [/tex3] > 0 desde que [tex3]\epsilon <\sqrt[n]{p}[/tex3] :
[tex3]\sqrt[n]{p} \ - \ \epsilon < \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{p} \ + \ \epsilon [/tex3] ⇒
[tex3]( \sqrt[n]{p} \ - \ \epsilon )^n < x < ( \sqrt[n]{p} \ + \ \epsilon )^n [/tex3]
Assim, podemos tomar nosso conjunto aberto [tex3]I[/tex3] como:
[tex3]I = \ ] \ ( \sqrt[n]{p} \ - \ \epsilon )^n \ ; \ ( \sqrt[n]{p} \ + \ \epsilon )^n \ [[/tex3] .
Onde temos:
[tex3]x\in I ⇒ \sqrt[n]{p} \ - \ \epsilon < \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{p} \ + \ \epsilon [/tex3] .
Logo, f é contínua em todo p > 0.
Portanto, [tex3]f(x) =\sqrt[n]{x}[/tex3] é contínua em todo p real. C.q.p.
Nota
Você deve complementar as conclusões feita por mim acima, juntando com o que o seu professor lecionou para você em sala de aula ( ou aula remota ).
Boa sorte e excelente estudo!
Uma prova:
Nesta questão devemos provar que [tex3]\sqrt[n]{x}[/tex3] está compreendido dentro do intervalo continuo de uma função. Devemos provar também que f é contínua em todo p dado , onde p é um ponto da função, para isso , devemos provar que para qualquer [tex3]\epsilon [/tex3] > 0 exista um intervalo aberto [tex3]I[/tex3] que contenha p e satisfaça :
[tex3]x\in I ⇒ \sqrt[n]{p} \ - \ \epsilon < \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{p} \ + \ \epsilon [/tex3]
Temos que resolver a inequação , mas perceba que há comportamentos diferentes de f para n ímpar ou n par , vamos analisar então cada caso separadamente:
1° Caso : n é ímpar
Sendo n ímpar , temos :
[tex3]\sqrt[n]{p} \ - \ \epsilon < \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{p} \ + \ \epsilon [/tex3] ⇒
[tex3]( \sqrt[n]{p} \ - \ \epsilon )^n < x < ( \sqrt[n]{p} \ + \ \epsilon )^n [/tex3]
Assim , podemos tomar nosso conjunto aberto [tex3]I[/tex3] como
[tex3]I = \ ] \ ( \sqrt[n]{p} \ - \ \epsilon )^n \ ; \ ( \sqrt[n]{p} \ + \ \epsilon )^n \ [[/tex3] .
Então, para todo x temos que
[tex3]x\in I ⇒ \sqrt[n]{p} \ - \ \epsilon < \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{p} \ + \ \epsilon [/tex3]
Logo, f é contínua em todo p real quando n é ímpar.
2° Caso : n é par
Lembrando que neste caso, não existe raiz com índice par de número negativo, então teremos sempre x ≥ 0 , ou seja , iremos estudar apenas os valores positivos de p e ele no ponto zero. Daí , para [tex3]\epsilon [/tex3] > 0, vem;
Para p = 0 :
[tex3]- \ \epsilon < \sqrt[n]{x} < + \ \epsilon [/tex3] .
Como [tex3](-\epsilon )^2 = (+\epsilon )^2 [/tex3] , temos que
0 ≤ x < [tex3]\epsilon^n[/tex3] .
Assim, podemos tomar nosso conjunto aberto [tex3]I[/tex3] como:
[tex3]I = \ ] \ 0 \ ; \ \epsilon ^n \ [[/tex3] .
Então, para todo x temos que
[tex3]x\in I ⇒ x^n < \ \epsilon [/tex3]
Logo, f é contínua em p = 0.
Para p > 0 , temos que para todo [tex3]\epsilon [/tex3] > 0 desde que [tex3]\epsilon <\sqrt[n]{p}[/tex3] :
[tex3]\sqrt[n]{p} \ - \ \epsilon < \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{p} \ + \ \epsilon [/tex3] ⇒
[tex3]( \sqrt[n]{p} \ - \ \epsilon )^n < x < ( \sqrt[n]{p} \ + \ \epsilon )^n [/tex3]
Assim, podemos tomar nosso conjunto aberto [tex3]I[/tex3] como:
[tex3]I = \ ] \ ( \sqrt[n]{p} \ - \ \epsilon )^n \ ; \ ( \sqrt[n]{p} \ + \ \epsilon )^n \ [[/tex3] .
Onde temos:
[tex3]x\in I ⇒ \sqrt[n]{p} \ - \ \epsilon < \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{p} \ + \ \epsilon [/tex3] .
Logo, f é contínua em todo p > 0.
Portanto, [tex3]f(x) =\sqrt[n]{x}[/tex3] é contínua em todo p real. C.q.p.
Nota
Você deve complementar as conclusões feita por mim acima, juntando com o que o seu professor lecionou para você em sala de aula ( ou aula remota ).
Boa sorte e excelente estudo!
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