Resposta
O autor não disponibilizou o gabarito da questão no livro
Ensino Superior ⇒ Cálculo I- Exercício 26 (Simmons) Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2021
05
11:40
Cálculo I- Exercício 26 (Simmons)
Considere a curva y = a/(1 + x^2), onde a é uma constante positiva. Para que valores de a existe um ponto P = (Xo, Yo) na parte da curva do primeiro quadrante em que a normal passa pela origem? Se a normal, no ponto em que Xo = 2, passa pela origem, qual deve ser o valor de a?
O autor não disponibilizou o gabarito da questão no livro
O autor não disponibilizou o gabarito da questão no livro
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Cardoso1979 
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Mai 2021
06
12:13
Re: Cálculo I- Exercício 26 (Simmons)
Observe
Eu tenho o livro mencionado por você, realmente o autor não disponibilizou o gabarito, porém , você postou a fonte o que para mim é bastante importante!
Uma solução:
Você pode aproveitar algumas conclusões desta resolução
viewtopic.php?f=8&t=94129
Qualquer reta que passa pela origem tem a seguinte característica
y = k.x
Seja o ponto P = ( [tex3]x_{0} , y_{0}[/tex3] ) pertencente tanto a curva dada como a reta y = k.x, então,
[tex3]y_{0} = k.x_{0}[/tex3] e [tex3]y_{0} = \frac{a}{1+x_{0}^2}[/tex3] .
Por outro lado, temos que
[tex3]f'(x_{0} ) = y'_{0} = - \frac{2ax_{0}}{(1+x_{0}^2)^2}[/tex3]
Daí,
k.f'( x [tex3]_{0}[/tex3] ) = - 1
[tex3]- \frac{2ax_{0}}{(1+x_{0}^2)^2}.k = - 1[/tex3]
Desenvolvendo, obtemos
[tex3]k = \frac{(1+x_{0}^2)^2}{2ax_{0}}[/tex3]
Logo,
[tex3]y_{0} = \frac{(1+x_{0}^2)^2}{2a}[/tex3]
Fazendo ( [tex3]y_{0} = y_{0} [/tex3] ) ( Por quê ? Ficará como exercício para o leitor
).
[tex3]\frac{a}{1+x_{0}^2} = \frac{(1+x_{0}^2)^2}{2a}[/tex3]
Resulta que;
a = [tex3]\sqrt{\frac{(1+x_{0}^2)^3}{2}}[/tex3]
Claramente , os valores de a são maiores do que zero ( 0 ) .
Portanto, a > 0.
Se [tex3]x_{0} = 2[/tex3] , temos
a = [tex3]\sqrt{\frac{(1+2^2)^3}{2}}[/tex3]
a = [tex3]\sqrt{\frac{125}{2}}[/tex3]
Ou
a = [tex3]\frac{5\sqrt{10}}{2}[/tex3]
Nota
As conclusões as quais eu cheguei, relacionada a esta questão, ficará como exercício para o leitor verificar!
Boa sorte e excelente estudo!
Eu tenho o livro mencionado por você, realmente o autor não disponibilizou o gabarito, porém , você postou a fonte o que para mim é bastante importante!
Uma solução:
Você pode aproveitar algumas conclusões desta resolução
viewtopic.php?f=8&t=94129
Qualquer reta que passa pela origem tem a seguinte característica
y = k.x
Seja o ponto P = ( [tex3]x_{0} , y_{0}[/tex3] ) pertencente tanto a curva dada como a reta y = k.x, então,
[tex3]y_{0} = k.x_{0}[/tex3] e [tex3]y_{0} = \frac{a}{1+x_{0}^2}[/tex3] .
Por outro lado, temos que
[tex3]f'(x_{0} ) = y'_{0} = - \frac{2ax_{0}}{(1+x_{0}^2)^2}[/tex3]
Daí,
k.f'( x [tex3]_{0}[/tex3] ) = - 1
[tex3]- \frac{2ax_{0}}{(1+x_{0}^2)^2}.k = - 1[/tex3]
Desenvolvendo, obtemos
[tex3]k = \frac{(1+x_{0}^2)^2}{2ax_{0}}[/tex3]
Logo,
[tex3]y_{0} = \frac{(1+x_{0}^2)^2}{2a}[/tex3]
Fazendo ( [tex3]y_{0} = y_{0} [/tex3] ) ( Por quê ? Ficará como exercício para o leitor
).[tex3]\frac{a}{1+x_{0}^2} = \frac{(1+x_{0}^2)^2}{2a}[/tex3]
Resulta que;
a = [tex3]\sqrt{\frac{(1+x_{0}^2)^3}{2}}[/tex3]
Claramente , os valores de a são maiores do que zero ( 0 ) .
Portanto, a > 0.
Se [tex3]x_{0} = 2[/tex3] , temos
a = [tex3]\sqrt{\frac{(1+2^2)^3}{2}}[/tex3]
a = [tex3]\sqrt{\frac{125}{2}}[/tex3]
Ou
a = [tex3]\frac{5\sqrt{10}}{2}[/tex3]
Nota
As conclusões as quais eu cheguei, relacionada a esta questão, ficará como exercício para o leitor verificar!
Boa sorte e excelente estudo!
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