Ensino Superior ⇒ Problema sen e cos

[Duprecal]

Considere a soma:

S=sen²5∘+sen²6∘+⋯+sen²85∘ .

Usando o fato que sen(90∘−x)=cosx, determine o valor de 2S.

[FelipeMartin]

[tex3]\sen (85^{\circ}) = \cos (5^{\circ})[/tex3]

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[tex3]\sen (85^{\circ}) = \cos (5^{\circ})[/tex3]

, então [tex3]\sen ^2(5^{\circ}) + \sen^2(85^{\circ}) = \sen^2(5^{\circ}) + \cos^2(5^{\circ}) = 1[/tex3]

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[tex3]\sen ^2(5^{\circ}) + \sen^2(85^{\circ}) = \sen^2(5^{\circ}) + \cos^2(5^{\circ}) = 1[/tex3]

.

O mesmo vale pra todos os números nessa soma: [tex3]5,6,7,8,...,44[/tex3]

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[tex3]5,6,7,8,...,44[/tex3]

menos para [tex3]45^{\circ}[/tex3]

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[tex3]45^{\circ}[/tex3]

pois este não tem um par que cancele seu seno ao quadrado

[tex3]5,6,...,44 \rightarrow 1,2,...,40[/tex3]

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[tex3]5,6,...,44 \rightarrow 1,2,...,40[/tex3]

então são 40 termos cuja soma dá 1 mais [tex3]\sen^2(45^{\circ}) = \frac12[/tex3]

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[tex3]\sen^2(45^{\circ}) = \frac12[/tex3]

.

A soma vale então [tex3]40 + \frac12 = \frac{81}2 = 40,5[/tex3]

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[tex3]40 + \frac12 = \frac{81}2 = 40,5[/tex3]