Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Teoria dos números
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2021
04
15:02
Teoria dos números
Mostre que para nenhum [tex3]n[/tex3]
, [tex3]2^n+1[/tex3]
nunca pode ser um cubo
Editado pela última vez por Lliw em 04 Mai 2021, 15:03, em um total de 1 vez.
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Mai 2021
04
15:26
Re: Teoria dos números
Se for um cubo, então: [tex3]2^n+1 = x^3 [/tex3]
[tex3]2^n = (x-1) \cdot (x^2+x+1) [/tex3]
Então existe inteiro não negativo "a" tal que:
[tex3]\begin{cases}
x^2+x+1 = 2^a \\
x-1 = 2^{n-a}
\end{cases}[/tex3]
Se [tex3]n-a>0 [/tex3] , então x é ímpar, mas então [tex3]x^2+x+1 [/tex3] será ímpar. Contradição se [tex3]a>0 [/tex3] .
Então, primeiro caso: [tex3]n-a>0 [/tex3] e [tex3]a=0 [/tex3]
[tex3]x^2+x+1 = 2^0 [/tex3]
[tex3]x=0 [/tex3] ou [tex3]x=-1 [/tex3]
[tex3]\begin{cases}
2^n+1 = 0\rightarrow n\notin \mathbb{N} \\
2^n+1=-1 \rightarrow n\notin \mathbb{N}
\end{cases}[/tex3]
Segundo caso: [tex3]n-a = 0\rightarrow n=a [/tex3]
Nesse caso [tex3]x = 1+2^0 = 2 [/tex3]
[tex3]2^n+1 = 2^3 \rightarrow 2^n = 7\rightarrow n\notin \mathbb{N} [/tex3]
[tex3]2^n = (x-1) \cdot (x^2+x+1) [/tex3]
Então existe inteiro não negativo "a" tal que:
[tex3]\begin{cases}
x^2+x+1 = 2^a \\
x-1 = 2^{n-a}
\end{cases}[/tex3]
Se [tex3]n-a>0 [/tex3] , então x é ímpar, mas então [tex3]x^2+x+1 [/tex3] será ímpar. Contradição se [tex3]a>0 [/tex3] .
Então, primeiro caso: [tex3]n-a>0 [/tex3] e [tex3]a=0 [/tex3]
[tex3]x^2+x+1 = 2^0 [/tex3]
[tex3]x=0 [/tex3] ou [tex3]x=-1 [/tex3]
[tex3]\begin{cases}
2^n+1 = 0\rightarrow n\notin \mathbb{N} \\
2^n+1=-1 \rightarrow n\notin \mathbb{N}
\end{cases}[/tex3]
Segundo caso: [tex3]n-a = 0\rightarrow n=a [/tex3]
Nesse caso [tex3]x = 1+2^0 = 2 [/tex3]
[tex3]2^n+1 = 2^3 \rightarrow 2^n = 7\rightarrow n\notin \mathbb{N} [/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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