Ensino Superior

Mensagem não lidapor **Marcos2812** » 04 Mai 2021, 11:51 · Mensagem não lida por **Marcos2812** » 04 Mai 2021, 11:51

Um subconjunto X de um corpo ordenado K é
dito denso (em K) quando entre quaisquer dois elementos distintos de K há pelo
menos um elemento de X. Em outras palavras, vale;
X ∩ (α, β) é diferente de ∅, para todo intervalo aberto (α, β) ⊂ K. Prove que o conjunto dos números irracionais é denso nos Reais.

Alguém me ajuda nessa?

Mensagem não lidapor **deOliveira** » 04 Mai 2021, 13:28 · Mensagem não lida por **deOliveira** » 04 Mai 2021, 13:28

Sejam [tex3]a< b\in\mathbb R[/tex3] . Quero mostrar que existe um número irracional no intervalo [tex3](a,b)[/tex3] .

Tome [tex3]x\in\mathbb{R-Q}[/tex3] . Então [tex3]x\ne0[/tex3] . Suponha [tex3]x>0[/tex3] (se [tex3]x<0[/tex3] o raciocínio é o mesmo usando [tex3]-x[/tex3] ).
Como [tex3]a< b[/tex3] e [tex3]x>0[/tex3] , então [tex3]\frac ax<\frac bx[/tex3] .
Como [tex3]\mathbb Q[/tex3] é denso em [tex3]\mathbb R[/tex3] existe [tex3]r\in\mathbb Q[/tex3] tal que [tex3]\frac ax< r<\frac bx[/tex3] .
O que implica que [tex3]a< rx< b[/tex3] .
Se [tex3]r\ne0[/tex3] então [tex3]rx\not\in\mathbb Q[/tex3] , pois caso contrário teríamos [tex3]rx=s\in\mathbb Q\implies x=\frac sr\in\mathbb Q[/tex3] o que é uma contradição pois tomamos [tex3]x\in\mathbb{R-Q}[/tex3] .
Se [tex3]r=0[/tex3] então [tex3]xr=0[/tex3] , daí aplicamos o mesmo raciocínio para obter [tex3]r'\in\mathbb Q[/tex3] com [tex3]a< r'x <0< b[/tex3] .

Espero ter ajudado.

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