Ensino SuperiorQuestão de álgebra linear Tópico resolvido

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Crawboss
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Mai 2021 02 15:32

Questão de álgebra linear

Mensagem não lida por Crawboss »

Alguém poderia me ajudar a resolver essa questão:

No triângulo PQR, sejam S, T e U os pontos médios dos segmentos PQ, QR, PR respectivamente.
Encontre o vetor RS em função dos vetores QU e PT.

Já tentei encontrar todas as relações possíveis, faço várias substituições mas não saio do lugar...




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deOliveira
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Mai 2021 03 18:20

Re: Questão de álgebra linear

Mensagem não lida por deOliveira »

Observe uma solução:

Pelos pontos S, T e U serem os pontos médios dos segmentos PQ, QR, PR respectivamente, temos que
[tex3]\vec{PU}=\vec{UR}\\\vec{PS}=\vec{SQ}\\\vec{QT}=\vec{TR}[/tex3]

Vou escrever os vetores em função de [tex3]\vec{PU}[/tex3] e [tex3]\vec{PS}[/tex3] , porque é fácil ver pelo desenho, mas poderia ser outra decomposição usando dois vetores li.

[tex3]\vec{RS}=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\\vec{QU}=\vec{PU}-2\vec{PS}[/tex3]

O vetor [tex3]\vec{PT}[/tex3] dá um pouquinho mais de trabalho:

[tex3]\vec{PT}=2\vec{PS}+\vec{QT}[/tex3]

Note que [tex3]2\vec{QT}=-2\vec{PS}+2\vec{PU}\implies \vec{QT}=\vec{PS}+\vec{PU}[/tex3] . Portanto

[tex3]\vec{PT}=2\vec{PS}-\vec{PS}+\vec{PU}=\vec{PS}+\vec{PU}[/tex3]

Então queremos encontrar [tex3]x,y\in\mathbb R[/tex3] tais que [tex3]x\vec{PT}+y\vec{QU}=\vec{RS}[/tex3] . Usando as igualdades que encontramos podemos escrever:

[tex3]x(\vec{PS}+\vec{PU})+y(\vec{PU}-2\vec{PS})=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\
\vec{PS}(x-2y)+\vec{PU}(x+y)=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\\implies\begin{cases}x-2y=1\\x+y=-2\end{cases}\\\implies x=y=-1\\\boxed{\therefore\vec{RS}=-\vec{PT}-\vec{QU}}[/tex3]

Espero ter ajudado.



Saudações.

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Crawboss
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Mai 2021 04 00:23

Re: Questão de álgebra linear

Mensagem não lida por Crawboss »

deOliveira escreveu:
Seg 03 Mai, 2021 18:20
Observe uma solução:

Pelos pontos S, T e U serem os pontos médios dos segmentos PQ, QR, PR respectivamente, temos que
[tex3]\vec{PU}=\vec{UR}\\\vec{PS}=\vec{SQ}\\\vec{QT}=\vec{TR}[/tex3]

Vou escrever os vetores em função de [tex3]\vec{PU}[/tex3] e [tex3]\vec{PS}[/tex3] , porque é fácil ver pelo desenho, mas poderia ser outra decomposição usando dois vetores li.

[tex3]\vec{RS}=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\\vec{QU}=\vec{PU}-2\vec{PS}[/tex3]

O vetor [tex3]\vec{PT}[/tex3] dá um pouquinho mais de trabalho:

[tex3]\vec{PT}=2\vec{PS}+\vec{QT}[/tex3]

Note que [tex3]2\vec{QT}=-2\vec{PS}+2\vec{PU}\implies \vec{QT}=\vec{PS}+\vec{PU}[/tex3] . Portanto

[tex3]\vec{PT}=2\vec{PS}-\vec{PS}+\vec{PU}=\vec{PS}+\vec{PU}[/tex3]

Então queremos encontrar [tex3]x,y\in\mathbb R[/tex3] tais que [tex3]x\vec{PT}+y\vec{QU}=\vec{RS}[/tex3] . Usando as igualdades que encontramos podemos escrever:

[tex3]x(\vec{PS}+\vec{PU})+y(\vec{PU}-2\vec{PS})=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\
\vec{PS}(x-2y)+\vec{PU}(x+y)=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\\implies\begin{cases}x-2y=1\\x+y=-2\end{cases}\\\implies x=y=-1\\\boxed{\therefore\vec{RS}=-\vec{PT}-\vec{QU}}[/tex3]

Espero ter ajudado.
Amei a forma como você desenvolveu a questão e gostaria de tirar algumas dúvidas.
Poderia me esclarecer só como você chegou a PS(x-2y)+ PU(x+y)? Eu entendi pela sua resolução que PS é igual a x e PU igual a y, daí ficaria PS(x+y) e PU(y-2x). Acho que entendi errado essa parte. Além disso, como que com o resultado de x e Y você chegou até a solução final? Pq eu substitui aqui e n entendi o procedimento que vem depois:

PS(x-2y) + PU(x+y)
PS(-1-2*-1) + PU (-1-1)
3PS-2PU
...



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deOliveira
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Mai 2021 04 13:04

Re: Questão de álgebra linear

Mensagem não lida por deOliveira »

[tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são números reais ,que eu quero encontrar, tais que [tex3]x\vec{PT}+y\vec{QU}=\vec{RS}[/tex3] .

Então no lugar de [tex3]\vec{PT}[/tex3] vou colocar [tex3]\vec{PT}=2\vec{PS}+\vec{QT}[/tex3] , no de [tex3]\vec{QU}[/tex3] vou colocar [tex3]\vec{QU}=\vec{PU}-2\vec{PS}[/tex3] e no de [tex3]\vec{RS}[/tex3] vou colocar [tex3]\vec{RS}=-2\vec{PU}+\vec{PS}[/tex3] . Tenho então:

[tex3]x\vec{PT}+y\vec{QU}=\vec{RS}\\
x(\vec{PS}+\vec{PU})+y(\vec{PU}-2\vec{PS})=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\
x\vec{PS}+x\vec{PU}+y\vec{PU}-2y\vec{PS}=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\
(x\vec{PS}-2y\vec{PS})+(x\vec{PU}+y\vec{PU})=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\
(x-2y)\vec{PS}+(x+y)\vec{PU}=-2\vec{PU}+\vec{PS}[/tex3]

E daí segue o que eu fiz na resolução.
Espero que agora esteja mais claro.



Saudações.

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