Alguém poderia me ajudar a resolver essa questão:
No triângulo PQR, sejam S, T e U os pontos médios dos segmentos PQ, QR, PR respectivamente.
Encontre o vetor RS em função dos vetores QU e PT.
Já tentei encontrar todas as relações possíveis, faço várias substituições mas não saio do lugar...
Ensino Superior ⇒ Questão de álgebra linear Tópico resolvido
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Mai 2021
03
18:20
Re: Questão de álgebra linear
Observe uma solução:
Pelos pontos S, T e U serem os pontos médios dos segmentos PQ, QR, PR respectivamente, temos que
[tex3]\vec{PU}=\vec{UR}\\\vec{PS}=\vec{SQ}\\\vec{QT}=\vec{TR}[/tex3]
Vou escrever os vetores em função de [tex3]\vec{PU}[/tex3] e [tex3]\vec{PS}[/tex3] , porque é fácil ver pelo desenho, mas poderia ser outra decomposição usando dois vetores li.
[tex3]\vec{RS}=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\\vec{QU}=\vec{PU}-2\vec{PS}[/tex3]
O vetor [tex3]\vec{PT}[/tex3] dá um pouquinho mais de trabalho:
[tex3]\vec{PT}=2\vec{PS}+\vec{QT}[/tex3]
Note que [tex3]2\vec{QT}=-2\vec{PS}+2\vec{PU}\implies \vec{QT}=\vec{PS}+\vec{PU}[/tex3] . Portanto
[tex3]\vec{PT}=2\vec{PS}-\vec{PS}+\vec{PU}=\vec{PS}+\vec{PU}[/tex3]
Então queremos encontrar [tex3]x,y\in\mathbb R[/tex3] tais que [tex3]x\vec{PT}+y\vec{QU}=\vec{RS}[/tex3] . Usando as igualdades que encontramos podemos escrever:
[tex3]x(\vec{PS}+\vec{PU})+y(\vec{PU}-2\vec{PS})=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\
\vec{PS}(x-2y)+\vec{PU}(x+y)=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\\implies\begin{cases}x-2y=1\\x+y=-2\end{cases}\\\implies x=y=-1\\\boxed{\therefore\vec{RS}=-\vec{PT}-\vec{QU}}[/tex3]
Espero ter ajudado.
Pelos pontos S, T e U serem os pontos médios dos segmentos PQ, QR, PR respectivamente, temos que
[tex3]\vec{PU}=\vec{UR}\\\vec{PS}=\vec{SQ}\\\vec{QT}=\vec{TR}[/tex3]
Vou escrever os vetores em função de [tex3]\vec{PU}[/tex3] e [tex3]\vec{PS}[/tex3] , porque é fácil ver pelo desenho, mas poderia ser outra decomposição usando dois vetores li.
[tex3]\vec{RS}=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\\vec{QU}=\vec{PU}-2\vec{PS}[/tex3]
O vetor [tex3]\vec{PT}[/tex3] dá um pouquinho mais de trabalho:
[tex3]\vec{PT}=2\vec{PS}+\vec{QT}[/tex3]
Note que [tex3]2\vec{QT}=-2\vec{PS}+2\vec{PU}\implies \vec{QT}=\vec{PS}+\vec{PU}[/tex3] . Portanto
[tex3]\vec{PT}=2\vec{PS}-\vec{PS}+\vec{PU}=\vec{PS}+\vec{PU}[/tex3]
Então queremos encontrar [tex3]x,y\in\mathbb R[/tex3] tais que [tex3]x\vec{PT}+y\vec{QU}=\vec{RS}[/tex3] . Usando as igualdades que encontramos podemos escrever:
[tex3]x(\vec{PS}+\vec{PU})+y(\vec{PU}-2\vec{PS})=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\
\vec{PS}(x-2y)+\vec{PU}(x+y)=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\\implies\begin{cases}x-2y=1\\x+y=-2\end{cases}\\\implies x=y=-1\\\boxed{\therefore\vec{RS}=-\vec{PT}-\vec{QU}}[/tex3]
Espero ter ajudado.
Saudações.
Mai 2021
04
00:23
Re: Questão de álgebra linear
Amei a forma como você desenvolveu a questão e gostaria de tirar algumas dúvidas.deOliveira escreveu: ↑Seg 03 Mai, 2021 18:20Observe uma solução:
Pelos pontos S, T e U serem os pontos médios dos segmentos PQ, QR, PR respectivamente, temos que
[tex3]\vec{PU}=\vec{UR}\\\vec{PS}=\vec{SQ}\\\vec{QT}=\vec{TR}[/tex3]
Vou escrever os vetores em função de [tex3]\vec{PU}[/tex3] e [tex3]\vec{PS}[/tex3] , porque é fácil ver pelo desenho, mas poderia ser outra decomposição usando dois vetores li.
[tex3]\vec{RS}=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\\vec{QU}=\vec{PU}-2\vec{PS}[/tex3]
O vetor [tex3]\vec{PT}[/tex3] dá um pouquinho mais de trabalho:
[tex3]\vec{PT}=2\vec{PS}+\vec{QT}[/tex3]
Note que [tex3]2\vec{QT}=-2\vec{PS}+2\vec{PU}\implies \vec{QT}=\vec{PS}+\vec{PU}[/tex3] . Portanto
[tex3]\vec{PT}=2\vec{PS}-\vec{PS}+\vec{PU}=\vec{PS}+\vec{PU}[/tex3]
Então queremos encontrar [tex3]x,y\in\mathbb R[/tex3] tais que [tex3]x\vec{PT}+y\vec{QU}=\vec{RS}[/tex3] . Usando as igualdades que encontramos podemos escrever:
[tex3]x(\vec{PS}+\vec{PU})+y(\vec{PU}-2\vec{PS})=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\
\vec{PS}(x-2y)+\vec{PU}(x+y)=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\\implies\begin{cases}x-2y=1\\x+y=-2\end{cases}\\\implies x=y=-1\\\boxed{\therefore\vec{RS}=-\vec{PT}-\vec{QU}}[/tex3]
Espero ter ajudado.
Poderia me esclarecer só como você chegou a PS(x-2y)+ PU(x+y)? Eu entendi pela sua resolução que PS é igual a x e PU igual a y, daí ficaria PS(x+y) e PU(y-2x). Acho que entendi errado essa parte. Além disso, como que com o resultado de x e Y você chegou até a solução final? Pq eu substitui aqui e n entendi o procedimento que vem depois:
PS(x-2y) + PU(x+y)
PS(-1-2*-1) + PU (-1-1)
3PS-2PU
...
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Mai 2021
04
13:04
Re: Questão de álgebra linear
[tex3]x[/tex3]
Então no lugar de [tex3]\vec{PT}[/tex3] vou colocar [tex3]\vec{PT}=2\vec{PS}+\vec{QT}[/tex3] , no de [tex3]\vec{QU}[/tex3] vou colocar [tex3]\vec{QU}=\vec{PU}-2\vec{PS}[/tex3] e no de [tex3]\vec{RS}[/tex3] vou colocar [tex3]\vec{RS}=-2\vec{PU}+\vec{PS}[/tex3] . Tenho então:
[tex3]x\vec{PT}+y\vec{QU}=\vec{RS}\\
x(\vec{PS}+\vec{PU})+y(\vec{PU}-2\vec{PS})=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\
x\vec{PS}+x\vec{PU}+y\vec{PU}-2y\vec{PS}=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\
(x\vec{PS}-2y\vec{PS})+(x\vec{PU}+y\vec{PU})=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\
(x-2y)\vec{PS}+(x+y)\vec{PU}=-2\vec{PU}+\vec{PS}[/tex3]
E daí segue o que eu fiz na resolução.
Espero que agora esteja mais claro.
e [tex3]y[/tex3]
são números reais ,que eu quero encontrar, tais que [tex3]x\vec{PT}+y\vec{QU}=\vec{RS}[/tex3]
.Então no lugar de [tex3]\vec{PT}[/tex3] vou colocar [tex3]\vec{PT}=2\vec{PS}+\vec{QT}[/tex3] , no de [tex3]\vec{QU}[/tex3] vou colocar [tex3]\vec{QU}=\vec{PU}-2\vec{PS}[/tex3] e no de [tex3]\vec{RS}[/tex3] vou colocar [tex3]\vec{RS}=-2\vec{PU}+\vec{PS}[/tex3] . Tenho então:
[tex3]x\vec{PT}+y\vec{QU}=\vec{RS}\\
x(\vec{PS}+\vec{PU})+y(\vec{PU}-2\vec{PS})=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\
x\vec{PS}+x\vec{PU}+y\vec{PU}-2y\vec{PS}=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\
(x\vec{PS}-2y\vec{PS})+(x\vec{PU}+y\vec{PU})=-2\vec{PU}+\vec{PS}\\
(x-2y)\vec{PS}+(x+y)\vec{PU}=-2\vec{PU}+\vec{PS}[/tex3]
E daí segue o que eu fiz na resolução.
Espero que agora esteja mais claro.
Saudações.
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