Observe
Uma solução:
Estamos lidando com a parte superior do cilindro x² + z² = 4 , recortada pela região x² + y² ≤ 4.
Daí,
[tex3]A(S) = \int\limits_{}^{}\int\limits_{S}^{}dS = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}\left|\frac{\partial r}{\partial u} ×\frac{\partial r}{\partial v}\right|dudv \ \ ( I ).[/tex3]
Ou
[tex3]A(S) = \int\limits_{}^{}\int\limits_{S}^{}dS = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R'}^{}\sqrt{1 +
\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 +
\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}dydx \ \ ( I I ).[/tex3]
Obs. Irei utilizar ( I I ).
Da equação do cilindro z² + x² = 4 , podemos escrever:
z = √( 4 - x² ).
Assim, as derivadas parciais são;
[tex3]\frac{\partial z }{\partial y} = 0[/tex3]
e [tex3]\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{\sqrt{4 - x^2}}[/tex3]
.
Segue-se que
[tex3]A(S) = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R'}^{}\sqrt{1 +
\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}dydx [/tex3]
[tex3]A(S) = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R'}^{}\sqrt{1 +
(0)^2 + \left(\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}\right)^2}dydx [/tex3]
[tex3]A(S) = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R'}^{}\sqrt{1 + \frac{x^2}{4-x^2}} \ dydx [/tex3]
[tex3]A(S) = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R'}^{}\sqrt{\frac{4}{4-x^2}} \ dydx [/tex3]
[tex3]A(S) = 2.\int\limits_{}^{}\int\limits_{R'}^{}\frac{1}{\sqrt{4-x^2}} \ dydx [/tex3]
.
Para determinar os limites de integração, utilizaremos a equação x² + y² ≤ 4 (
Por quê? Ficará como exercício para você ) , temos que
- 2 ≤ x ≤ 2 e - √( 4 - x² ) ≤ y ≤ √( 4 - x² ).
Logo,
[tex3]A(S) = 2.\int\limits_{-2}^{2}\int\limits_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\frac{1}{\sqrt{4-x^2}} \ dydx [/tex3]
[tex3]A(S) = 2.\int\limits_{-2}^{2}\frac{1}{\sqrt{4-x^2}} .[\sqrt{4-x^2} \ - \ (-\sqrt{4-x^2} ) ]\ dx [/tex3]
[tex3]A(S) = 2.\int\limits_{-2}^{2}2\ dx [/tex3]
A( S ) = 4.[ 2 - ( - 2 ) ] = 4.4 = 16
Como calculamos apenas a área da superfície da parte superior do cilindro x² + z² = 4 que está dentro do cilindro x² + y² = 4, ou seja , a área da parte da superfície que está acima do plano
xy , precisamos então multiplicar o resultado encontrado acima ( 16 ) por
dois (2) para obtermos a área da superfície total , já que devemos considerar a área da superfície da parte inferior ( parte da superfície que está abaixo do plano xy ) do cilindro x² + z² = 4 que está dentro do cilindro x² + y² = 4.
Portanto,
[tex3]A(S)_{Total} = \int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}\sqrt{1 +
\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}dydx = 16.2 = 32 \ u.a. ✅ [/tex3]
Excelente estudo!