Ensino Superior ⇒ Questão de indução matemática

[PuramatRaeq]

Como resolver uma desigualdade usando indução como esta que esta entre dois membros ?

[Deleted User 25040]

acho que n tem um jeito muito geral de resolver esse tipo de questão não, nesse caso podemos resolver assim:
base: [tex3]1\leq1^1<2[/tex3]

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[tex3]1\leq1^1<2[/tex3]

que é claramente verdade.
suponha agora que para algum k inteiro positivo tenhamos
[tex3]1\leq k^{1\over k}<2[/tex3]

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[tex3]1\leq k^{1\over k}<2[/tex3]

queremos, usando isso provar que [tex3]1\leq(k+1)^{1\over k+1}<2[/tex3]

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[tex3]1\leq(k+1)^{1\over k+1}<2[/tex3]

vou mostrar só [tex3]k^{1\over k}<2\implies (k+1)^{1\over k+1}<2[/tex3]

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[tex3]k^{1\over k}<2\implies (k+1)^{1\over k+1}<2[/tex3]

e vc demonstrar que é sempre maior ou igual a 1.
como k é inteiro positivo, vamos elevar tudo a k
[tex3]k<2^k[/tex3]

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[tex3]k<2^k[/tex3]

como para todo k inteiro positivo [tex3]1 < 2^k[/tex3]

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[tex3]1 < 2^k[/tex3]

, somando as duas
[tex3]k+1<2^k+2^k=2^{k+1}[/tex3]

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[tex3]k+1<2^k+2^k=2^{k+1}[/tex3]

ai eleva tudo a [tex3]1\over k+1[/tex3]

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[tex3]1\over k+1[/tex3]

[tex3](k+1)^{1\over k+1}<2[/tex3]

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[tex3](k+1)^{1\over k+1}<2[/tex3]

[Loreto]

No caso de K+1 é válido pra todo Natural sim.