Demonstre que a área do setor circular [tex3]OPR[/tex3]
é [tex3]A=\dfrac{r^2\theta}{2}[/tex3]
. Considere [tex3]0<\theta<\dfrac{\pi}{2}[/tex3]
e use a equação da circunferência centrada na origem de equação [tex3]x^2+y^2=r^2[/tex3]
Bom, separei em partes a solução calculei a área do triangulo retangulo POQ e em seguida a integral [tex3]\int_{r\cdot cos\theta}^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx=\Bigg.\dfrac{r^2}{2}arcsen (\dfrac{x}{r})+\dfrac{x\sqrt{r^2-x^2}}{2}\Bigg|_{r\cdot cos\theta}^{r}[/tex3]
que corresponde a área da região PQR
Mas quando vou aplicar os limites de integração para [tex3]r\cdot cos\theta[/tex3]
me deparo com [tex3]arcsen(cos\theta)[/tex3]
e não sei como proseguir
Ensino Superior ⇒ Integral - Área do setor circular Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2021
30
13:42
Integral - Área do setor circular
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Cardoso1979 
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Mai 2021
01
11:37
Re: Integral - Área do setor circular
Observe
Uma solução:
[tex3]A_{PQR} = \int\limits_{r.cos(\theta )}^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx[/tex3]
Ou você procede da sua maneira que também está correta ou proceda assim
Faça a seguinte substituição trigonométrica x = r.cos( u ) → dx = - r.sen( u ) du , para [tex3]\theta [/tex3] ≤ u ≤ [tex3]\frac{π}{2}[/tex3] e - r ≤ x ≤ r. Então, temos que
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{r^2 - x^2}dx = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}r.sen(u).[-r.sen(u)] \ du = [/tex3]
[tex3]-r^2.\int\limits_{}^{}sen^2(u) \ du = -\frac{1}{2}r^2.[ u - sen (u).cos (u)]+C = -\frac{1}{2}r^2.arc \ cos\left(\frac{x}{r}\right) + \frac{1}{2}x\sqrt{r^2 - x^2}+ C[/tex3]
[tex3]A_{PQR} = \frac{1}{2}.[-r^2.arc \ cos\left(
\frac{x}{r}\right) + x\sqrt{r^2 - x^2} ]_{r.cos (\theta )}^{r}[/tex3]
Aqui que o bicho pega!!
De x = r.cos( u ) , vem;
cos ( u ) = [tex3]\frac{x}{r}[/tex3] → sen ( u ) = [tex3]\frac{\sqrt{r^2 - x^2}}{r}[/tex3] , logo,
[tex3]tg (u) = \frac{\sqrt{r^2 - x^2}}{x}[/tex3] .
Agora, monte um triângulo retângulo, com a hipotenusa r , cateto oposto [tex3]\sqrt{r^2 - x^2}[/tex3] e cateto adjacente x tudo relacionado a um ângulo [tex3]\theta [/tex3].
Daí,
[tex3]cos (\theta ) = \frac{x}{r} [/tex3] →
[tex3]\theta = arc \ cos\left(\frac{x}{r}\right) [/tex3]
Como [tex3]cos (\theta ) = \frac{x}{r} [/tex3] , segue-se que
[tex3]\theta = arc \ cos(cos (\theta )) [/tex3] .
Pronto! E o problema está resolvido!! Segue o mesmo raciocínio para a sua dúvida , que no seu caso é
[tex3]arc \ sen(cos(\theta))[/tex3] . Você irá chegar na mesma conclusão!
Resumindo:
Por fim , após a substituição você irá obter
[tex3]A_{PQR} = \frac{1}{2}r^2\theta - \frac{1}{2}r^2.sen(\theta).cos (\theta )[/tex3]
Basta agora, você somar o resultado acima com a área do ∆POQ que você encontrou ( [tex3]A_{∆POQ} =\frac{1}{2}r^2.sen(\theta).cos (\theta )[/tex3] ) e consequentemente você irá obter
[tex3]A_{OPR} = \frac{r^2\theta }{2} \ u.a.[/tex3]
Obs.1
Caso você queira evitar esse tipo de problema ( [tex3]\theta = arc \ cos(cos (\theta )) [/tex3] ) , que fica mais difícil de compreensão por trazer confusão , o melhor a ser feito para fugir dessa situação é você trocar os limites de integração, veja;
Limite inferior ( x = r.cos([tex3]\theta )[/tex3] ):
[tex3]u_{inferior} : r.cos(\theta ) = r.cos(u) \therefore
u = \theta [/tex3] .
Limite superior ( x = r ) :
[tex3]u_{superior} : r = r.cos(u) \therefore
u = 0 [/tex3] .
Obs.2 : x = r.cos( u ).
Perceba que chegamos na mesma conclusão, com relação ao problema resolvido acima ( relacionado ao arc cos ( cos ([tex3]\theta [/tex3] ) ) ).
Assim,
[tex3]A_{PQR}= -\frac{1}{2}r^2.[ u - sen (u).cos (u)]_{\theta }^{0}[/tex3]
Logo,
[tex3]A_{PQR} = \frac{1}{2}r^2\theta - \frac{1}{2}r^2.sen(\theta).cos (\theta )[/tex3]
Muito mais simples!!!! Sem comparação!!
Excelente estudo!
Uma solução:
[tex3]A_{PQR} = \int\limits_{r.cos(\theta )}^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx[/tex3]
Ou você procede da sua maneira que também está correta ou proceda assim
Faça a seguinte substituição trigonométrica x = r.cos( u ) → dx = - r.sen( u ) du , para [tex3]\theta [/tex3] ≤ u ≤ [tex3]\frac{π}{2}[/tex3] e - r ≤ x ≤ r. Então, temos que
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{r^2 - x^2}dx = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}r.sen(u).[-r.sen(u)] \ du = [/tex3]
[tex3]-r^2.\int\limits_{}^{}sen^2(u) \ du = -\frac{1}{2}r^2.[ u - sen (u).cos (u)]+C = -\frac{1}{2}r^2.arc \ cos\left(\frac{x}{r}\right) + \frac{1}{2}x\sqrt{r^2 - x^2}+ C[/tex3]
[tex3]A_{PQR} = \frac{1}{2}.[-r^2.arc \ cos\left(
\frac{x}{r}\right) + x\sqrt{r^2 - x^2} ]_{r.cos (\theta )}^{r}[/tex3]
Aqui que o bicho pega!!
De x = r.cos( u ) , vem;
cos ( u ) = [tex3]\frac{x}{r}[/tex3] → sen ( u ) = [tex3]\frac{\sqrt{r^2 - x^2}}{r}[/tex3] , logo,
[tex3]tg (u) = \frac{\sqrt{r^2 - x^2}}{x}[/tex3] .
Agora, monte um triângulo retângulo, com a hipotenusa r , cateto oposto [tex3]\sqrt{r^2 - x^2}[/tex3] e cateto adjacente x tudo relacionado a um ângulo [tex3]\theta [/tex3].
Daí,
[tex3]cos (\theta ) = \frac{x}{r} [/tex3] →
[tex3]\theta = arc \ cos\left(\frac{x}{r}\right) [/tex3]
Como [tex3]cos (\theta ) = \frac{x}{r} [/tex3] , segue-se que
[tex3]\theta = arc \ cos(cos (\theta )) [/tex3] .
Pronto! E o problema está resolvido!! Segue o mesmo raciocínio para a sua dúvida , que no seu caso é
[tex3]arc \ sen(cos(\theta))[/tex3] . Você irá chegar na mesma conclusão!
Resumindo:
Por fim , após a substituição você irá obter
[tex3]A_{PQR} = \frac{1}{2}r^2\theta - \frac{1}{2}r^2.sen(\theta).cos (\theta )[/tex3]
Basta agora, você somar o resultado acima com a área do ∆POQ que você encontrou ( [tex3]A_{∆POQ} =\frac{1}{2}r^2.sen(\theta).cos (\theta )[/tex3] ) e consequentemente você irá obter
[tex3]A_{OPR} = \frac{r^2\theta }{2} \ u.a.[/tex3]
Obs.1
Caso você queira evitar esse tipo de problema ( [tex3]\theta = arc \ cos(cos (\theta )) [/tex3] ) , que fica mais difícil de compreensão por trazer confusão , o melhor a ser feito para fugir dessa situação é você trocar os limites de integração, veja;
Limite inferior ( x = r.cos([tex3]\theta )[/tex3] ):
[tex3]u_{inferior} : r.cos(\theta ) = r.cos(u) \therefore
u = \theta [/tex3] .
Limite superior ( x = r ) :
[tex3]u_{superior} : r = r.cos(u) \therefore
u = 0 [/tex3] .
Obs.2 : x = r.cos( u ).
Perceba que chegamos na mesma conclusão, com relação ao problema resolvido acima ( relacionado ao arc cos ( cos ([tex3]\theta [/tex3] ) ) ).
Assim,
[tex3]A_{PQR}= -\frac{1}{2}r^2.[ u - sen (u).cos (u)]_{\theta }^{0}[/tex3]
Logo,
[tex3]A_{PQR} = \frac{1}{2}r^2\theta - \frac{1}{2}r^2.sen(\theta).cos (\theta )[/tex3]
Muito mais simples!!!! Sem comparação!!
Excelente estudo!
Mai 2021
01
12:21
Re: Integral - Área do setor circular
Realmente, da segunda maneira parece muito mais fácil
Mai 2021
01
12:26
Re: Integral - Área do setor circular
Tenho umas perguntas, se puder me responder hehe, por que no inicio da solução [tex3]\theta\leq u\leq \dfrac{\pi}{2}[/tex3]
?
e por que no processo de montar o triângulo retangulo ele tem que ser em função do angulo [tex3]\theta[/tex3] ? Sendo que as funções sen, cos e tg estão em função de uCardoso1979 escreveu: ↑Sáb 01 Mai, 2021 11:37Agora, monte um triângulo retângulo, com a hipotenusa r , cateto oposto r2−x2−−−−−−−√r2−x2 e cateto adjacente x tudo relacionado a um ângulo θθ.
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