Demonstre que a área do setor circular [tex3]OPR[/tex3]
é [tex3]A=\dfrac{r^2\theta}{2}[/tex3]
. Considere [tex3]0<\theta<\dfrac{\pi}{2}[/tex3]
e use a equação da circunferência centrada na origem de equação [tex3]x^2+y^2=r^2[/tex3]
Bom, separei em partes a solução calculei a área do triangulo retangulo POQ e em seguida a integral [tex3]\int_{r\cdot cos\theta}^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx=\Bigg.\dfrac{r^2}{2}arcsen (\dfrac{x}{r})+\dfrac{x\sqrt{r^2-x^2}}{2}\Bigg|_{r\cdot cos\theta}^{r}[/tex3]
que corresponde a área da região PQR
Mas quando vou aplicar os limites de integração para [tex3]r\cdot cos\theta[/tex3]
me deparo com [tex3]arcsen(cos\theta)[/tex3]
e não sei como proseguir
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Integral - Área do setor circular Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2021
30
13:42
Integral - Área do setor circular
- Anexos
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- transtutors004_4362073d-c357-4784-bf01-f37251eb2206.jpg (37.94 KiB) Exibido 3959 vezes
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Cardoso1979
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Mai 2021
01
11:37
Re: Integral - Área do setor circular
Observe
Uma solução:
[tex3]A_{PQR} = \int\limits_{r.cos(\theta )}^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx[/tex3]
Ou você procede da sua maneira que também está correta ou proceda assim
Faça a seguinte substituição trigonométrica x = r.cos( u ) → dx = - r.sen( u ) du , para [tex3]\theta [/tex3] ≤ u ≤ [tex3]\frac{π}{2}[/tex3] e - r ≤ x ≤ r. Então, temos que
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{r^2 - x^2}dx = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}r.sen(u).[-r.sen(u)] \ du = [/tex3]
[tex3]-r^2.\int\limits_{}^{}sen^2(u) \ du = -\frac{1}{2}r^2.[ u - sen (u).cos (u)]+C = -\frac{1}{2}r^2.arc \ cos\left(\frac{x}{r}\right) + \frac{1}{2}x\sqrt{r^2 - x^2}+ C[/tex3]
[tex3]A_{PQR} = \frac{1}{2}.[-r^2.arc \ cos\left(
\frac{x}{r}\right) + x\sqrt{r^2 - x^2} ]_{r.cos (\theta )}^{r}[/tex3]
Aqui que o bicho pega!!
De x = r.cos( u ) , vem;
cos ( u ) = [tex3]\frac{x}{r}[/tex3] → sen ( u ) = [tex3]\frac{\sqrt{r^2 - x^2}}{r}[/tex3] , logo,
[tex3]tg (u) = \frac{\sqrt{r^2 - x^2}}{x}[/tex3] .
Agora, monte um triângulo retângulo, com a hipotenusa r , cateto oposto [tex3]\sqrt{r^2 - x^2}[/tex3] e cateto adjacente x tudo relacionado a um ângulo [tex3]\theta [/tex3].
Daí,
[tex3]cos (\theta ) = \frac{x}{r} [/tex3] →
[tex3]\theta = arc \ cos\left(\frac{x}{r}\right) [/tex3]
Como [tex3]cos (\theta ) = \frac{x}{r} [/tex3] , segue-se que
[tex3]\theta = arc \ cos(cos (\theta )) [/tex3] .
Pronto! E o problema está resolvido!! Segue o mesmo raciocínio para a sua dúvida , que no seu caso é
[tex3]arc \ sen(cos(\theta))[/tex3] . Você irá chegar na mesma conclusão!
Resumindo:
Por fim , após a substituição você irá obter
[tex3]A_{PQR} = \frac{1}{2}r^2\theta - \frac{1}{2}r^2.sen(\theta).cos (\theta )[/tex3]
Basta agora, você somar o resultado acima com a área do ∆POQ que você encontrou ( [tex3]A_{∆POQ} =\frac{1}{2}r^2.sen(\theta).cos (\theta )[/tex3] ) e consequentemente você irá obter
[tex3]A_{OPR} = \frac{r^2\theta }{2} \ u.a.[/tex3]
Obs.1
Caso você queira evitar esse tipo de problema ( [tex3]\theta = arc \ cos(cos (\theta )) [/tex3] ) , que fica mais difícil de compreensão por trazer confusão , o melhor a ser feito para fugir dessa situação é você trocar os limites de integração, veja;
Limite inferior ( x = r.cos([tex3]\theta )[/tex3] ):
[tex3]u_{inferior} : r.cos(\theta ) = r.cos(u) \therefore
u = \theta [/tex3] .
Limite superior ( x = r ) :
[tex3]u_{superior} : r = r.cos(u) \therefore
u = 0 [/tex3] .
Obs.2 : x = r.cos( u ).
Perceba que chegamos na mesma conclusão, com relação ao problema resolvido acima ( relacionado ao arc cos ( cos ([tex3]\theta [/tex3] ) ) ).
Assim,
[tex3]A_{PQR}= -\frac{1}{2}r^2.[ u - sen (u).cos (u)]_{\theta }^{0}[/tex3]
Logo,
[tex3]A_{PQR} = \frac{1}{2}r^2\theta - \frac{1}{2}r^2.sen(\theta).cos (\theta )[/tex3]
Muito mais simples!!!! Sem comparação!!
Excelente estudo!
Uma solução:
[tex3]A_{PQR} = \int\limits_{r.cos(\theta )}^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx[/tex3]
Ou você procede da sua maneira que também está correta ou proceda assim
Faça a seguinte substituição trigonométrica x = r.cos( u ) → dx = - r.sen( u ) du , para [tex3]\theta [/tex3] ≤ u ≤ [tex3]\frac{π}{2}[/tex3] e - r ≤ x ≤ r. Então, temos que
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{r^2 - x^2}dx = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}r.sen(u).[-r.sen(u)] \ du = [/tex3]
[tex3]-r^2.\int\limits_{}^{}sen^2(u) \ du = -\frac{1}{2}r^2.[ u - sen (u).cos (u)]+C = -\frac{1}{2}r^2.arc \ cos\left(\frac{x}{r}\right) + \frac{1}{2}x\sqrt{r^2 - x^2}+ C[/tex3]
[tex3]A_{PQR} = \frac{1}{2}.[-r^2.arc \ cos\left(
\frac{x}{r}\right) + x\sqrt{r^2 - x^2} ]_{r.cos (\theta )}^{r}[/tex3]
Aqui que o bicho pega!!
De x = r.cos( u ) , vem;
cos ( u ) = [tex3]\frac{x}{r}[/tex3] → sen ( u ) = [tex3]\frac{\sqrt{r^2 - x^2}}{r}[/tex3] , logo,
[tex3]tg (u) = \frac{\sqrt{r^2 - x^2}}{x}[/tex3] .
Agora, monte um triângulo retângulo, com a hipotenusa r , cateto oposto [tex3]\sqrt{r^2 - x^2}[/tex3] e cateto adjacente x tudo relacionado a um ângulo [tex3]\theta [/tex3].
Daí,
[tex3]cos (\theta ) = \frac{x}{r} [/tex3] →
[tex3]\theta = arc \ cos\left(\frac{x}{r}\right) [/tex3]
Como [tex3]cos (\theta ) = \frac{x}{r} [/tex3] , segue-se que
[tex3]\theta = arc \ cos(cos (\theta )) [/tex3] .
Pronto! E o problema está resolvido!! Segue o mesmo raciocínio para a sua dúvida , que no seu caso é
[tex3]arc \ sen(cos(\theta))[/tex3] . Você irá chegar na mesma conclusão!
Resumindo:
Por fim , após a substituição você irá obter
[tex3]A_{PQR} = \frac{1}{2}r^2\theta - \frac{1}{2}r^2.sen(\theta).cos (\theta )[/tex3]
Basta agora, você somar o resultado acima com a área do ∆POQ que você encontrou ( [tex3]A_{∆POQ} =\frac{1}{2}r^2.sen(\theta).cos (\theta )[/tex3] ) e consequentemente você irá obter
[tex3]A_{OPR} = \frac{r^2\theta }{2} \ u.a.[/tex3]
Obs.1
Caso você queira evitar esse tipo de problema ( [tex3]\theta = arc \ cos(cos (\theta )) [/tex3] ) , que fica mais difícil de compreensão por trazer confusão , o melhor a ser feito para fugir dessa situação é você trocar os limites de integração, veja;
Limite inferior ( x = r.cos([tex3]\theta )[/tex3] ):
[tex3]u_{inferior} : r.cos(\theta ) = r.cos(u) \therefore
u = \theta [/tex3] .
Limite superior ( x = r ) :
[tex3]u_{superior} : r = r.cos(u) \therefore
u = 0 [/tex3] .
Obs.2 : x = r.cos( u ).
Perceba que chegamos na mesma conclusão, com relação ao problema resolvido acima ( relacionado ao arc cos ( cos ([tex3]\theta [/tex3] ) ) ).
Assim,
[tex3]A_{PQR}= -\frac{1}{2}r^2.[ u - sen (u).cos (u)]_{\theta }^{0}[/tex3]
Logo,
[tex3]A_{PQR} = \frac{1}{2}r^2\theta - \frac{1}{2}r^2.sen(\theta).cos (\theta )[/tex3]
Muito mais simples!!!! Sem comparação!!
Excelente estudo!
Mai 2021
01
12:21
Re: Integral - Área do setor circular
Realmente, da segunda maneira parece muito mais fácil
Mai 2021
01
12:26
Re: Integral - Área do setor circular
Tenho umas perguntas, se puder me responder hehe, por que no inicio da solução [tex3]\theta\leq u\leq \dfrac{\pi}{2}[/tex3]
?
e por que no processo de montar o triângulo retangulo ele tem que ser em função do angulo [tex3]\theta[/tex3] ? Sendo que as funções sen, cos e tg estão em função de uCardoso1979 escreveu: ↑01 Mai 2021, 11:37 Agora, monte um triângulo retângulo, com a hipotenusa r , cateto oposto r2−x2−−−−−−−√r2−x2 e cateto adjacente x tudo relacionado a um ângulo θθ.
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