Ensino Superior ⇒ Algebra linear Tópico resolvido

[Squ3let0n]

Verifique se s ̃ao espa ̧cos vetoriais os seguintes conjuntos:
(a) O conjunto dos n ́umeros reais, com adi ̧c ̃ao u + v = m ́ınimo{u, v} e a multiplica ̧c ̃ao
por escalar usual α · u = αu.
(b) O R
2
com adi ̧c ̃ao (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 − x2, y1 − y2) e a multiplica ̧c ̃ao por escalar

usual.
Só falta essa questão na minha atividade e eu não estou conseguindo fazer, alguem consegue me ajudar?

[deOliveira]

(a) Temos que uma das propriedades da adição num espaço vetorial é a existência de um elemento neutro, que denotarei por [tex3]e[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]e[/tex3]

, tal que [tex3]a+e=e+a=a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+e=e+a=a[/tex3]

para todo [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

no espaço vetorial.
Note que dado qualquer [tex3]e\in\mathbb R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]e\in\mathbb R[/tex3]

temos que [tex3]u=e+1> e[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u=e+1> e[/tex3]

, logo [tex3]u+e=\min\{u,e\}=e\ne u[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u+e=\min\{u,e\}=e\ne u[/tex3]

, logo não há elemento neutro e portanto este não é um espaço vetorial.

(b) Temos que num espaço vetorial [tex3]u+v=v+u[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u+v=v+u[/tex3]

.
Considere [tex3]u=(1,1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u=(1,1)[/tex3]

e [tex3]v=(2,1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v=(2,1)[/tex3]

.
[tex3]u+v=(1,1)+(2,1)=(1-2,1-1)=(-1,0)\\v+u=(2,1)+(1,1)=(2-1,1-1)=(1,0)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u+v=(1,1)+(2,1)=(1-2,1-1)=(-1,0)\\v+u=(2,1)+(1,1)=(2-1,1-1)=(1,0)[/tex3]

Logo, temos que existem [tex3]u,v\in\mathbb R^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u,v\in\mathbb R^2[/tex3]

tais que [tex3]u+v\ne v+u[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u+v\ne v+u[/tex3]

e portanto este não é um espaço vetorial.

Espero ter ajudado.

[petras]

Squ3let0n,

Por favor transcreva ao enunciado.
Não é permitido postar o enunciado das questões em forma de imagem. Utilize imagens apenas para as figuras que não puderem ser digitadas.

Essa regra existe para que os mecanismos de busca da internet (Google, por exemplo) consigam "ler" o conteúdo das mensagens.
Postando o enunciado em forma de imagem, o Google não irá indexar e, no futuro, quando alguém procurar ajuda na internet sobre esta mesma questão que você acabou de postar em forma de imagem, essa pessoa não encontrará a ajuda necessária. #

[Squ3let0n]

Squ3let0n,

Por favor transcreva ao enunciado.
Não é permitido postar o enunciado das questões em forma de imagem. Utilize imagens apenas para as figuras que não puderem ser digitadas.

Essa regra existe para que os mecanismos de busca da internet (Google, por exemplo) consigam "ler" o conteúdo das mensagens.
Postando o enunciado em forma de imagem, o Google não irá indexar e, no futuro, quando alguém procurar ajuda na internet sobre esta mesma questão que você acabou de postar em forma de imagem, essa pessoa não encontrará a ajuda necessária. #

Ok

[Squ3let0n]

(a) Temos que uma das propriedades da adição num espaço vetorial é a existência de um elemento neutro, que denotarei por [tex3]e[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]e[/tex3]

, tal que [tex3]a+e=e+a=a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+e=e+a=a[/tex3]

para todo [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

no espaço vetorial.
Note que dado qualquer [tex3]e\in\mathbb R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]e\in\mathbb R[/tex3]

temos que [tex3]u=e+1> e[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u=e+1> e[/tex3]

, logo [tex3]u+e=\min\{u,e\}=e\ne u[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u+e=\min\{u,e\}=e\ne u[/tex3]

, logo não há elemento neutro e portanto este não é um espaço vetorial.

(b) Temos que num espaço vetorial [tex3]u+v=v+u[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u+v=v+u[/tex3]

.
Considere [tex3]u=(1,1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u=(1,1)[/tex3]

e [tex3]v=(2,1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v=(2,1)[/tex3]

.
[tex3]u+v=(1,1)+(2,1)=(1-2,1-1)=(-1,0)\\v+u=(2,1)+(1,1)=(2-1,1-1)=(1,0)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u+v=(1,1)+(2,1)=(1-2,1-1)=(-1,0)\\v+u=(2,1)+(1,1)=(2-1,1-1)=(1,0)[/tex3]

Logo, temos que existem [tex3]u,v\in\mathbb R^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u,v\in\mathbb R^2[/tex3]

tais que [tex3]u+v\ne v+u[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u+v\ne v+u[/tex3]

e portanto este não é um espaço vetorial.

Espero ter ajudado.

OI, você pode me explicar a parte do minimo ?, eu não entendi muito bem e não achei nada sobre na internet, eu só não entendi a letra A, de resto consegui compreender, obrigado pela atençãp !

[deOliveira]

[tex3]1>0\implies u=e+1>e[/tex3]

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[tex3]1>0\implies u=e+1>e[/tex3]

então o mínimo será o [tex3]e[/tex3]

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[tex3]e[/tex3]

e não o [tex3]u[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u[/tex3]

.