dada as funções:
f(x)=[tex3]\sqrt{x}[/tex3]
g(x)=2x-[tex3]x^2{}[/tex3]
determine todos os números reais que fazem com que f(x)=g(x)
Ensino Superior ⇒ domínio e imagem das funções Tópico resolvido
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deOliveira
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Abr 2021
26
11:19
Re: domínio e imagem das funções
Primeiramente observemos que [tex3]Dom f=[0,+\infty[[/tex3]
e [tex3]Dom f=\mathbb R[/tex3]
. Note tabém que [tex3]f(x)\ge0[/tex3]
para todo [tex3]x\in Dom f[/tex3]
.
Queremos encontrar [tex3]x[/tex3] tal que [tex3]f(x)=g(x)[/tex3] então resolvemos:
[tex3]\sqrt x=2x-x^2[/tex3] (elevando os dois lados ao quadrado)
[tex3]x=(2x-x^2)^2\\x=4x^2-4x^3+x^4[/tex3]
[tex3]x^4-4x^3+4x^2-x=0[/tex3]
[tex3]x(x^3-4x^2+4x-1)=0[/tex3] (fazendo inspeção temos que [tex3]1[/tex3] é raiz\ fazemos então a divisão de polinômios)
[tex3]x(x-1)(x^2-3x+1)=0\\[/tex3] (usando a fórmula de resolução de equação de segundo grau)
[tex3]x(x-1)\(x-\frac{3-\sqrt5}2\)\(x-\frac{3+\sqrt5}2\)=0[/tex3]
Dessa forma, os candidatos a [tex3]x[/tex3] são: [tex3]\left\{0,1,\frac{3-\sqrt5}2,\frac{3+\sqrt5}2\right\}[/tex3] . Todos esse números são não negativos, logo estão no domínio das duas funções.
Agora precisamos checar quais desses candidatos de fato satisfazem [tex3]f(x)=g(x)[/tex3] . É fácil ver que [tex3]0[/tex3] e [tex3]1[/tex3] satisfazem, é só fazer a conta. O difícil é checar [tex3]\frac{3-\sqrt5}2[/tex3] e [tex3]\frac{3+\sqrt5}2[/tex3] .
Pelo que fizemos no primeiro passo temos que encontramos os [tex3]x[/tex3] tais que [tex3](f(x))^2=(g(x))^2[/tex3] , ou seja, [tex3]f(x)=g(x)[/tex3] ou [tex3]f(x)=-g(x)[/tex3] . A partir daqui, sabendo que [tex3]f(x)\ge0[/tex3] para todo [tex3]x\in Dom f[/tex3] , temos que se [tex3]g(x_0)\ge0[/tex3] então [tex3]f(x_0)=g(x_0)[/tex3] e se [tex3]g(x_0)<0[/tex3] então [tex3]f(x_0)=-g(x_0).[/tex3]
Fazemos então:
[tex3]g\(\frac{3-\sqrt5}2\)=\frac{-1+\sqrt5}2>0\implies f\(\frac{3-\sqrt5}2\)=g\(\frac{3-\sqrt5}2\) [/tex3]
[tex3]g\(\frac{3+\sqrt5}2\)=\frac{-1-\sqrt5}2<0\implies f\(\frac{3+\sqrt5}2\)=-g\(\frac{3+\sqrt5}2\)\implies \frac{3+\sqrt5}2\ não\ convém[/tex3]
Portando, os valores reais de [tex3]x[/tex3] para os quais [tex3]f(x)=g(x)[/tex3] são [tex3]0[/tex3] , [tex3]\frac{3-\sqrt5}2[/tex3] e [tex3]1[/tex3] .
Espero ter ajudado.
Queremos encontrar [tex3]x[/tex3] tal que [tex3]f(x)=g(x)[/tex3] então resolvemos:
[tex3]\sqrt x=2x-x^2[/tex3] (elevando os dois lados ao quadrado)
[tex3]x=(2x-x^2)^2\\x=4x^2-4x^3+x^4[/tex3]
[tex3]x^4-4x^3+4x^2-x=0[/tex3]
[tex3]x(x^3-4x^2+4x-1)=0[/tex3] (fazendo inspeção temos que [tex3]1[/tex3] é raiz\ fazemos então a divisão de polinômios)
[tex3]x(x-1)(x^2-3x+1)=0\\[/tex3] (usando a fórmula de resolução de equação de segundo grau)
[tex3]x(x-1)\(x-\frac{3-\sqrt5}2\)\(x-\frac{3+\sqrt5}2\)=0[/tex3]
Dessa forma, os candidatos a [tex3]x[/tex3] são: [tex3]\left\{0,1,\frac{3-\sqrt5}2,\frac{3+\sqrt5}2\right\}[/tex3] . Todos esse números são não negativos, logo estão no domínio das duas funções.
Agora precisamos checar quais desses candidatos de fato satisfazem [tex3]f(x)=g(x)[/tex3] . É fácil ver que [tex3]0[/tex3] e [tex3]1[/tex3] satisfazem, é só fazer a conta. O difícil é checar [tex3]\frac{3-\sqrt5}2[/tex3] e [tex3]\frac{3+\sqrt5}2[/tex3] .
Pelo que fizemos no primeiro passo temos que encontramos os [tex3]x[/tex3] tais que [tex3](f(x))^2=(g(x))^2[/tex3] , ou seja, [tex3]f(x)=g(x)[/tex3] ou [tex3]f(x)=-g(x)[/tex3] . A partir daqui, sabendo que [tex3]f(x)\ge0[/tex3] para todo [tex3]x\in Dom f[/tex3] , temos que se [tex3]g(x_0)\ge0[/tex3] então [tex3]f(x_0)=g(x_0)[/tex3] e se [tex3]g(x_0)<0[/tex3] então [tex3]f(x_0)=-g(x_0).[/tex3]
Fazemos então:
[tex3]g\(\frac{3-\sqrt5}2\)=\frac{-1+\sqrt5}2>0\implies f\(\frac{3-\sqrt5}2\)=g\(\frac{3-\sqrt5}2\) [/tex3]
[tex3]g\(\frac{3+\sqrt5}2\)=\frac{-1-\sqrt5}2<0\implies f\(\frac{3+\sqrt5}2\)=-g\(\frac{3+\sqrt5}2\)\implies \frac{3+\sqrt5}2\ não\ convém[/tex3]
Portando, os valores reais de [tex3]x[/tex3] para os quais [tex3]f(x)=g(x)[/tex3] são [tex3]0[/tex3] , [tex3]\frac{3-\sqrt5}2[/tex3] e [tex3]1[/tex3] .
Espero ter ajudado.
Saudações.
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