Ensino Superior ⇒ Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes( teorema recíproco ?) Tópico resolvido

[geobson]

Pessoal , aprendi no livro Geometria II do Morgado, que os pés da bissetrizes internas e externas que partem de um mesmo vértice. Dividem harmonicamente o lado oposto na mesma razão dos lados adjacente.

Agora , o que eu queria saber era se existe o teorema recíproco , ou seja se eu tiver somente aquele triângulo ABD' e afirmar que D e D' dividem AC harmonicamente , então, necessariamente , posso afirmar que D E D' são pés de bissetrizes?

Posso favor , a quem poder me ajudar no esclarecimento desta dúvida , obrigado desde já.

[NigrumCibum]

Acredito que não seria o suficiente para isso acontecer, no entanto, se [tex3]\angle DAD'=90°[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle DAD'=90°[/tex3]

, AD é bissetriz do [tex3]\angle BAC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle BAC[/tex3]

(dá pra provar usando lei dos senos)

[FelipeMartin]

sim, desde que você saiba de antemão que [tex3]\angle DAD' = 90^{\circ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle DAD' = 90^{\circ}[/tex3]

.No meu livrinho que sairá em breve eu provo isso.

Se houver conjugados harmônicos e o ângulo reto, então com certeza há as bissetrizes.

A prova é bem simples. Tá aqui: viewtopic.php?p=259710#p259710

[geobson]

Outra forma de provar isso :

[NigrumCibum]

geobson, no livro EGMO também tem essa prova, mas não gosto muito dela.

20210602_140055.jpg (37.94 KiB) Exibido 2055 vezes

[geobson]

NigrumCibum, quem é o autor e editora desse livro?

[NigrumCibum]

geobson,
O livro é Eucliden Geometry in Mathematical Olympiads do Evan Chen.

[geobson]

NigrumCibum, legal mesmo é essa demonstração retirada do livro ( livro que recomendo e pelo qual estou me aprofundando em conhecimentos sobre inversão , homoteita e projetiva)Introdução à Geometria plana Avançada de João Vitor de Almeida Gonçalves, vulgo Felipe Martins , como é conhecido aqui no fórum.