bsabrunosouza escreveu: ↑Ter 20 Abr, 2021 16:10
- Ache a área da superfície no primeiro octante, delimitada no cilindro [tex3]x^2 + y^2 = 9[/tex3]
pelo plano [tex3]x = z[/tex3]
Observe
Uma solução:
Vamos primeiramente parametrizar "um pedaço" de um cilindro ( x² + y² = 9 ) , usaremos uma parametrização das coordenadas cilíndricas, temos:
x = r.cos (θ) ; y = r.sen(θ) ; z = z.
Como r = 3 , fica;
x = 3.cos (θ) ; y = 3.sen(θ) ; z = z.
Ou ainda;
[tex3]\vec{r}[/tex3]
( θ , z ) = ( 3.cos (θ) , 3.sen(θ) , z ) , onde 0 ≤ θ ≤ [tex3]\frac{π}{2}[/tex3]
( pois a superfície se encontra no 1° octante ).
Por outro lado, os limites de integração de
z são dados por
0 ≤ z ≤ x ( vai do plano z = 0 (digamos do "piso") ao plano z = x ( funciona como se fosse o "teto" ou "tampa" do sólido ).
Trocando o
x pelo parâmetro x = 3.cos(θ) , resulta
0 ≤ z ≤ 3.cos(θ).
Cálculo do dS:
dS = | [tex3]\vec{n}[/tex3]
| dzdθ
Daí,
[tex3]\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}(\theta ,z)}{\partial \theta } × \frac{\partial \vec{r}(\theta ,z)}{\partial z} [/tex3]
.
Como [tex3]\vec{r}[/tex3]
( θ , z ) = ( 3.cos (θ) , 3.sen(θ) , z ) , segue-se que
[tex3]\frac{\partial \vec{r}(\theta ,z)}{\partial \theta } =(-3.sen(\theta ) \ , \ 3.cos(\theta ) \ , \ 0) [/tex3]
e
[tex3]\frac{\partial \vec{r}(\theta ,z)}{\partial z} =( 0 \ , \ 0 \ , \ 1) [/tex3]
.
Calculado o produto vetorial entre os dois vetores obtidos acima
[tex3]\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}(\theta ,z)}{\partial \theta } × \frac{\partial \vec{r}(\theta ,z)}{\partial z}
= \left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
-3.sen(\theta ) & 3.cos(\theta ) & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right|[/tex3]
obtemos [tex3]\vec{n}[/tex3]
= ( 3.cos (θ) , 3.sen(θ) , 0 )
Cálculo da norma de [tex3]\vec{n}[/tex3]
:
[tex3]|\vec{n}| = \sqrt{9.cos^2(\theta ) + 9.sen^2(\theta )+0} = \sqrt{9} = 3[/tex3]
.
Logo,
dS = 3 dzdθ.
Assim,
[tex3]A(S) = \int\limits_{}^{}\int\limits_{S}^{}1 \ dS = 3.\int\limits_{}^{}\int\limits_{D}^{}dzd\theta [/tex3]
[tex3]A(S) = 3.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{3.cos(\theta )}dzd\theta = 3.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}3.cos(\theta ) \ d\theta [/tex3]
[tex3]A(S) = 9.[ sen(\theta )]_{0}^{\frac{π}{2}}[/tex3]
[tex3]A(S) = [ sen\left(\frac{π}{2}\right) - sen (0)]=9.(1-0)=9[/tex3]
.
Portanto, a área da superfície no primeiro octante, delimitada no cilindro x² + y² = 9 pelo plano x = z vale 9 u.a.
Obs.1 O esboço da superfície ficará como exercício para você Obs 2 Na segunda questão x² + z² = 4 não se trata de um cone.
Boa sorte e excelente estudo!