girlpowers2 ,
Vamos primeiro definir o volume do cone inteiro:
[tex3]\text{V}=\frac{1}{3}.\pi .\text{R}^2.\text{H}[/tex3]
[tex3]\text{V}=\frac{1}{3}.\pi .\text{3}^2.\text{4}[/tex3]
[tex3]\text{V}=12.\pi [/tex3]
Ele quer saber a altura do cone cujo volume é metade de [tex3]\text{V}.[/tex3]
[tex3]\text{V'}=\frac{\text{V}}{2}=6.\pi [/tex3]
[tex3]\text{V'}=\frac{1}{3}.\pi .\text{r}^2.\text{h}[/tex3]
[tex3]6.\pi =\frac{1}{3}.\pi .\text{r}^2.\text{h}[/tex3]
[tex3]\text{r}^2.\text{h}=18[/tex3]
Agora, para encontrar outra relação entre a altura e o raio do cone, vamos utilizar de Razão de Semelhança entre o cone inteiro e o cone que queremos definir.
[tex3]\frac{\text{H}}{\text{h}}=\frac{\text{R}}{\text{r}}[/tex3]
[tex3]\frac{\text{4}}{\text{h}}=\frac{\text{3}}{\text{r}}[/tex3]
[tex3]3.\text{h}=4.\text{r}[/tex3]
[tex3]\text{r}=\frac{3.\text{h}}{4}[/tex3]
Substituindo essa informação:
[tex3]\left(\frac{3.\text{h}}{4}\right)^2.\text{h}=18[/tex3]
[tex3]9.\text{h}^3=18.16[/tex3]
[tex3]\text{h}^3=32[/tex3]
[tex3]{\color{red}\boxed{\text{h}=2.\sqrt[3]{4} \text{ m}}}[/tex3]