Ensino Superior ⇒ UFRN 2014 | Cones Tópico resolvido

[girlpowers2]

Um reservatório de água com formato cônico, conforme mostra a figura a seguir, é monitorado para que seu volume não fique abaixo da metade de sua capacidade.

tutor.png (2.61 KiB) Exibido 1744 vezes

A altura mínima do nível de água para que isso não aconteça é:

a) 2 [tex3]\sqrt[3]{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[3]{4}[/tex3]

m
b) 2 [tex3]\sqrt[3]{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[3]{2}[/tex3]

m
c) 2m
d) [tex3]\sqrt[3]{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[3]{4}[/tex3]

m

Alguém ajudaaaa agradeço ))

Resposta

---

A

[NathanMoreira]

girlpowers2 ,

Vamos primeiro definir o volume do cone inteiro:
[tex3]\text{V}=\frac{1}{3}.\pi .\text{R}^2.\text{H}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{V}=\frac{1}{3}.\pi .\text{R}^2.\text{H}[/tex3]

[tex3]\text{V}=\frac{1}{3}.\pi .\text{3}^2.\text{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{V}=\frac{1}{3}.\pi .\text{3}^2.\text{4}[/tex3]

[tex3]\text{V}=12.\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{V}=12.\pi [/tex3]

Ele quer saber a altura do cone cujo volume é metade de [tex3]\text{V}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{V}.[/tex3]

[tex3]\text{V'}=\frac{\text{V}}{2}=6.\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{V'}=\frac{\text{V}}{2}=6.\pi [/tex3]

[tex3]\text{V'}=\frac{1}{3}.\pi .\text{r}^2.\text{h}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{V'}=\frac{1}{3}.\pi .\text{r}^2.\text{h}[/tex3]

[tex3]6.\pi =\frac{1}{3}.\pi .\text{r}^2.\text{h}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]6.\pi =\frac{1}{3}.\pi .\text{r}^2.\text{h}[/tex3]

[tex3]\text{r}^2.\text{h}=18[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{r}^2.\text{h}=18[/tex3]

Agora, para encontrar outra relação entre a altura e o raio do cone, vamos utilizar de Razão de Semelhança entre o cone inteiro e o cone que queremos definir.
[tex3]\frac{\text{H}}{\text{h}}=\frac{\text{R}}{\text{r}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\text{H}}{\text{h}}=\frac{\text{R}}{\text{r}}[/tex3]

[tex3]\frac{\text{4}}{\text{h}}=\frac{\text{3}}{\text{r}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\text{4}}{\text{h}}=\frac{\text{3}}{\text{r}}[/tex3]

[tex3]3.\text{h}=4.\text{r}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3.\text{h}=4.\text{r}[/tex3]

[tex3]\text{r}=\frac{3.\text{h}}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{r}=\frac{3.\text{h}}{4}[/tex3]

Substituindo essa informação:
[tex3]\left(\frac{3.\text{h}}{4}\right)^2.\text{h}=18[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{3.\text{h}}{4}\right)^2.\text{h}=18[/tex3]

[tex3]9.\text{h}^3=18.16[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]9.\text{h}^3=18.16[/tex3]

[tex3]\text{h}^3=32[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{h}^3=32[/tex3]

[tex3]{\color{red}\boxed{\text{h}=2.\sqrt[3]{4} \text{ m}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\color{red}\boxed{\text{h}=2.\sqrt[3]{4} \text{ m}}}[/tex3]

[guila100]

Resolução em video - https://www.youtube.com/watch?v=I8t2VBWzJ4w

SE INSCREVE NO CANAL PRA DAR UMA FORÇA PRA TRAZER MAIS RESOLUÇÕES VLW

[girlpowers2]

Obrigadaaa, ajudaram super!