Ensino Superior

Equação geral do plano que passa pelos pontos A = (2, 0, 5) e B = (0, 1, 0) e é
perpendicular ao plano [tex3]\alpha=: x + 3y – z – 7 = 0.[/tex3]

Resposta

[tex3]2x – y – z + 1 = 0[/tex3]

Observe

Uma solução:

Com o ponto A e o ponto B , você determina um vetor diretor para o plano a ser encontrado, já que o plano passa por esses dois pontos, temos

[tex3]\vec{AB} = B - A = ( - 2 , 1 , - 5 )[/tex3] .

Por outro lado, já que o plano [tex3]\alpha : x + 3y \ – z \ – 7 = 0.[/tex3] é perpendicular ao plano a ser determinado , então , calcularemos o produto vetorial entre o vetor diretor [tex3]\vec{AB}[/tex3] e o vetor normal a [tex3]\alpha [/tex3] ( que é [tex3]\vec{n} = ( 1 , 3 , - 1 )[/tex3] ) para encontrarmos um vetor normal ( [tex3]\vec{n}_{1}[/tex3] ) ao plano a ser determinado.

Assim,

[tex3]\vec{n}_{1} = \vec{AB} ×\vec{n} = \left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
-2 & 1 & -5\\
1 & 3 & -1
\end{array} \right|[/tex3]

Desenvolvendo o determinante acima, obtemos

[tex3]\vec{n}_{1} = 14.\vec{i} - 7.\vec{j} - 7.\vec{k}[/tex3]

ou seja ,

[tex3]\vec{n}_{1}[/tex3] = 7.( 2 , - 1 , - 1 ) que é o vetor normal ao plano procurado, então o plano terá a seguinte característica

2.x - 1.y - 1.z + d = 0

Como o ponto B = ( 0 , 1 , 0 ) está contido no plano, vem;

2.0 - 1.1 - 1.0 + d = 0 → d = 1

Portanto, o plano procurado é 2x – y – z + 1 = 0.

Excelente estudo!

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