Ensino SuperiorTeoria dos números Tópico resolvido

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Lliw
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Teoria dos números

Mensagem não lida por Lliw »

Mostre que se [tex3]mdc(a,b)=1[/tex3] , então [tex3]mdc(a+b,a^2-ab+b^2)=1[/tex3] ou [tex3]3[/tex3]




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Cardoso1979
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Abr 2021 20 13:06

Re: Teoria dos números

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma solução:

É um tipo de questão que o aluno tem que estar com bastante habilidade , afinado , craque , familiarizado e ter um "olho clínico" em se tratando de fatoração de expressões algébricas , além disso ter em mãos as propriedades , corolários , teoremas e proposições relacionado ao mdc.( Espero que o seu professor tenha lecionado sobre isso , caso contrário ficará a cargo do leitor para pesquisar 👍 ). Então , vamos a solução.

Seja d = mdc( a + b , a² - ab + b² ) . Então:

d = mdc( a + b , a² - ab + b² ) = mdc [ a + b , ( a + b ).( - 2a + b ) + 3a² ] = mdc [ a + b , ( a + b ).( - 2a + b ) + 3a² - 1.( - 2a + b ).( a + b ) ] = mdc ( a + b , 3a² ).


Analogamente:

d = mdc( a + b , a² - ab + b² ) = mdc [ a + b , ( b + a ).( - 2b + a ) + 3b² ] = mdc [ a + b , ( b + a ).( - 2b + a ) + 3b² - 1.( - 2b + a ).( a + b ) ] = mdc ( a + b , 3b² ).

Assim,

d|3a² e d|3b².

Segue-se que

d|mdc ( 3a² , 3b² ) ⇒ d|3mdc( a² , b² ) ⇒ d|3.[ mdc( a , b ) ]² ⇒ d|3.1

Logo,

d = 1 ou d = 3.


Portanto, mdc ( a + b , a² - ab + b² ) = 1 ou 3. C.q.m.




Boa sorte e excelente estudo!




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