Ensino SuperiorVolume - [INTEGRAL DUPLA] Tópico resolvido

Poste aqui problemas sobre assuntos estudados no Ensino Superior (exceto os cobrados em concursos públicos e escolas militares).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
bsabrunosouza
sênior
Mensagens: 32
Registrado em: Dom 14 Jul, 2019 14:53
Última visita: 29-03-22
Abr 2021 17 23:56

Volume - [INTEGRAL DUPLA]

Mensagem não lida por bsabrunosouza »

Olá, gostaria de saber se a minhas passagens estão corretas e se há algo que possa ser melhorado.

[tex3]x^2 + 4y^2 \leq 4[/tex3] e [tex3]x+y \leq z \leq x + y + 1[/tex3]

Bem, eu faço da seguinte forma:

[tex3]x^2 + 4y^2 = 4 \Rightarrow \frac{x^2}{4} + y^2 = 1[/tex3] (elipse)

[tex3]x = a \cdot r \cdot cos\theta \Rightarrow 2 \cdot r \cdot cos\theta\\ y = b \cdot r \cdot sin\theta \Rightarrow r \cdot sin\theta \\ J = a \cdot b \cdot r \Rightarrow 2r[/tex3]

Logo,
[tex3]\frac{\cancel{2^2} \cdot cos^{2}\theta}{\cancel{2^2}}+ sin^{2}\theta = 1[/tex3] com o [tex3]J = 2r[/tex3]

[tex3]V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \left(x+y+1 \right) - \left( x + y \right)2r \,dr\,d\theta[/tex3]
[tex3]= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} 1 \cdot 2r \,dr\,d\theta[/tex3]
[tex3]=\int_0^{2\pi} \left[\int_0^1 2r \,dr\,d\theta\right][/tex3]
[tex3]= \int_0^{2\pi}\left[ \cancel{2} \left.\frac{r^{2}}{\cancel{2}}\right|_0^1 \right]\,d\theta[/tex3]
[tex3]= \int_0^{2\pi}1\,d\theta = \left.\theta\right|_0^{2\pi} = 2\pi[/tex3]

Logo,[tex3]V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \left(x+y+1 \right) - \left( x + y \right)2r \,dr\,d\theta = 2\pi \blacktriangleleft[/tex3]
Resposta

[tex3]2\pi[/tex3]

Última edição: bsabrunosouza (Dom 18 Abr, 2021 00:39). Total de 2 vezes.
Razão: desenvolvimento matemático e atualização de passagem (simplificação)



Avatar do usuário
Cardoso1979
6 - Doutor
Mensagens: 4008
Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
Última visita: 04-04-23
Localização: Teresina- PI
Abr 2021 20 17:39

Re: Volume - [INTEGRAL DUPLA]

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

A única coisa que eu modificaria era em

[tex3]V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \left(x+y+1 \right) - \left( x + y \right)2r \,dr\,d\theta[/tex3]

ficaria assim


[tex3]V=\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}(x+y+1-x-y)dA[/tex3]

Logo,

[tex3]V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} 2r \,dr\,d\theta = 2\pi \blacktriangleleft[/tex3]

Onde ,

dA = J( r, [tex3]\theta [/tex3] )= 2rdrd [tex3]\theta [/tex3]


Obs.1 Lembrando que o plano z = x + y + 1 ao interceptar ( seccionar ) o cilindro elíptico x² + 4y² = 4 a projeção sobre plano z = x + y será a elipse x² + 4y² = 4


Obs.2 Os planos z = x + y + 1 e z = x + y são paralelos, obviamente nunca se interceptarão. Há quem diga que eles se interceptam no infinito 😲



Nota

Com relação as suas conclusões elas estão corretas 👍


Excelente estudo!




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem Volume - INTEGRAL DUPLA
    por bsabrunosouza » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    646 Exibições
    Última msg por Cardoso1979
  • Nova mensagem Volume com integral dupla
    por vh141201 » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    549 Exibições
    Última msg por Cardoso1979
  • Nova mensagem Volume - INTEGRAL DUPLA
    por bsabrunosouza » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    591 Exibições
    Última msg por Cardoso1979
  • Nova mensagem Integral dupla
    por magben » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    325 Exibições
    Última msg por Cardoso1979
  • Nova mensagem Integral dupla
    por Loreto » » em Ensino Superior
    4 Respostas
    477 Exibições
    Última msg por ALANSILVA

Voltar para “Ensino Superior”