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Ensino Superior ⇒ Cardióide Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2021
11
11:53
Cardióide
Se precisássemos percorrer a borda da lua traçada a seguir, qual a distância do percusso? Considere no gráfico a cardióide [tex3]R=2+2cos(\theta)[/tex3]
e a circunfêrencia [tex3]r=6cos(\theta)[/tex3]
. Para compor a resposta, use [tex3]\pi =3,14[/tex3]
.
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Cardoso1979 
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Abr 2021
11
15:19
Re: Cardióide
Observe
Uma solução:
O primeiro passo é você determinar o ângulo [tex3]\theta [/tex3] , para isso basta você fazer a interseção entre as duas curvas dada, temos
R = r → [tex3]\theta = \frac{π}{3}[/tex3]
Graficamente:
Então,
r = 6cos([tex3]\theta [/tex3] ) →
[tex3]\frac{dr}{d\theta } = -6sen(\theta )[/tex3] ;
R = 2 + 2cos([tex3]\theta [/tex3] ) →
[tex3]\frac{dR}{d\theta } = -2sen(\theta )[/tex3] .
Assim,
[tex3]C = \int\limits_{-\frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}\sqrt{[6cos(\theta )]^2+[-6sen(\theta )]^2}d\theta
\ + \ \int\limits_{-\frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}\sqrt{[2+2cos(\theta )]^2+[-2sen(\theta )]^2}d\theta = (4π + 8 ) \ u.c.[/tex3]
Obs.
[tex3]C = \int\limits_{a}^{b}\sqrt{ r^2+\left(\frac{dr}{d\theta }\right)^2}d\theta
[/tex3]
Excelente estudo!
Uma solução:
O primeiro passo é você determinar o ângulo [tex3]\theta [/tex3] , para isso basta você fazer a interseção entre as duas curvas dada, temos
R = r → [tex3]\theta = \frac{π}{3}[/tex3]
Graficamente:
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Então,
r = 6cos([tex3]\theta [/tex3] ) →
[tex3]\frac{dr}{d\theta } = -6sen(\theta )[/tex3] ;
R = 2 + 2cos([tex3]\theta [/tex3] ) →
[tex3]\frac{dR}{d\theta } = -2sen(\theta )[/tex3] .
Assim,
[tex3]C = \int\limits_{-\frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}\sqrt{[6cos(\theta )]^2+[-6sen(\theta )]^2}d\theta
\ + \ \int\limits_{-\frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}\sqrt{[2+2cos(\theta )]^2+[-2sen(\theta )]^2}d\theta = (4π + 8 ) \ u.c.[/tex3]
Obs.
[tex3]C = \int\limits_{a}^{b}\sqrt{ r^2+\left(\frac{dr}{d\theta }\right)^2}d\theta
[/tex3]
Excelente estudo!