Ensino Superior

Não estou conseguindo resolver essas duas do livro do Callioli, alguém pode me ajudar?

Seja u = (1+i, i) , v=(1-i, 2i) e w = (2, 3+i) vetores do espaço vetorial c²

a) calcule (3+i)u -iv - (2-i)w

b)Existe z [tex3]\epsilon [/tex3] c tal que v = zu ?

[tex3]u = (1+i, i) ,\ v=(1-i, 2i),\ w = (2, 3+i)[/tex3]

a) [tex3](3+i)u-iv-(2-i)w[/tex3]
Façamos as contas separadas (só por organização):

[tex3](3+i)u=(3+i)(1+i,i)=((3+i)(1+i),i(3+i))=(3+3i+i-1,3i-1)=(2+4i,-1+3i)[/tex3]

[tex3]-iv=-i(1-i,2i)=(-1-i,2)[/tex3]

[tex3]-(2-i)w=(-2+i)(2,3+i)=(-4+2i,-6-2i+3i-1)=(-4+2i,-7+i)[/tex3]

Então: [tex3](3+i)u-iv-(2-i)w=(2+4i,-1+3i)+(-1-i,2)+(-4+2i,-7+i)=(-3+5i,-6+4i)[/tex3]

b) Suponha que exista [tex3]z\in\mathbb C[/tex3] tal que [tex3]v=zu[/tex3] . Consdere [tex3]z=a+bi[/tex3] , com [tex3]a,b\in\mathbb R[/tex3] . Então
[tex3]zu=(a+bi)(1+i,i)=(a+bi+ai-b, ai-b)=(a-b+(a+b)i,-b+ai)\\zu=v\implies (a-b+(a+b)i,-b+ai)=(1-i,2i)\\\begin{cases}a-b=1\\a+b=-1\\-b=0\\a=2\end{cases}[/tex3]
Note que esse sistema é impossível. Logo não existe [tex3]z\in\mathbb C[/tex3] tal que [tex3]v=zu[/tex3] .

Espero ter ajudado.

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