Ensino Superior ⇒ Gradiente Tópico resolvido

[magben]

Determine o gradiente da função [tex3]f(x,y,z)=x^2y^3z^5[/tex3]

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[tex3]f(x,y,z)=x^2y^3z^5[/tex3]

no ponto [tex3]P=(2,2,1)[/tex3]

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[tex3]P=(2,2,1)[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

[tex3]\nabla f(x,y,z) = \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}i + \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}j + \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}k[/tex3]

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[tex3]\nabla f(x,y,z) = \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}i + \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}j + \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}k[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}= 2xy^3z^5[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}= 2xy^3z^5[/tex3]

Então,

[tex3]\frac{\partial f(2,2,1)}{\partial x}=32[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial f(2,2,1)}{\partial x}=32[/tex3]

Aínda,

[tex3]\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}= 3x^2y^2z^5[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}= 3x^2y^2z^5[/tex3]

Daí,

[tex3]\frac{\partial f(2,2,1)}{\partial y}=48[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial f(2,2,1)}{\partial y}=48[/tex3]

E

[tex3]\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}= 5x^2y^3z^4[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}= 5x^2y^3z^4[/tex3]

Segue-se que

[tex3]\frac{\partial f(2,2,1)}{\partial z}= 160[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial f(2,2,1)}{\partial z}= 160[/tex3]

Portanto,

[tex3]\nabla f(2,2,1) = 32.i + 48.j + 160.k[/tex3]

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[tex3]\nabla f(2,2,1) = 32.i + 48.j + 160.k[/tex3]

Excelente estudo!