Ensino Superior ⇒ Cálculo 2 - continuidade Tópico resolvido

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Boa noite, poderiam me ajudar nessa questão?

Determine se a função
[tex3]f(x,y)=\begin{cases}
e^\left(\frac{1}{x^2+y^2-1}\right), x^2+y^2<1 \\
0, x^2+y^2\geq 1
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,y)=\begin{cases}
e^\left(\frac{1}{x^2+y^2-1}\right), x^2+y^2<1 \\
0, x^2+y^2\geq 1
\end{cases}[/tex3]

é contínua no ponto [tex3]P=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})[/tex3]

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[tex3]P=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})[/tex3]

.


Eu consigo calcular o limite para mostrar que é contínua, mas não sei como garantir que estou avaliando todos os caminhos possíveis de aproximação sendo que a função depende da região do plano. Obrigada desde já!

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Analisando o que acontece com x² + y² quando x , y tende à [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

, temos que

[tex3]\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 =\frac{4}{4} = 1[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 =\frac{4}{4} = 1[/tex3]

ou seja , a soma tende a um ( 1 ) , isso significa que devemos utilizar a segunda equação. Assim,


[tex3]\lim_{(x ,y)\rightarrow \ \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} f(x,y) = 0[/tex3]

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[tex3]\lim_{(x ,y)\rightarrow \ \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} f(x,y) = 0[/tex3]

.




Obs 1 Para resolver o limite da primeira equação você utiliza coordenadas polares




Obs.2 Na realidade , essa função f é contínua em todo IR².



Logo , [tex3]\lim_{(x ,y)\rightarrow \ \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} f(x,y) [/tex3]

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[tex3]\lim_{(x ,y)\rightarrow \ \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} f(x,y) [/tex3]

existe, e , portanto , f é contínua em [tex3]P=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})[/tex3]

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[tex3]P=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})[/tex3]

.


Excelente estudo!