Ensino Superior

Mensagem não lidapor **LtCharly** » 07 Abr 2021, 10:50 · Mensagem não lida por **LtCharly** » 07 Abr 2021, 10:50

Seja uma circunferência λ = [tex3](x-2)^2+(y-3)^2 = 13[/tex3] e P (3, -2), um ponto externo a λ, há duas retas, r e s que passam por P e tangenciam λ. Ache a equação que define as retas r e s.

Por favor, poderiam resolver usando derivadas e se possível, sem "apelar" para geometria ^^ ?

Resposta

Uma das retas é 3x - 2y - 13 = 0

Mensagem não lidapor **snooplammer** » 07 Abr 2021, 16:39

Bem, seja [tex3](x,y)[/tex3] um ponto genérico de tangência.

Então as duas retas passam por [tex3](3,-2)[/tex3] e um ponto [tex3](x,y) \in \lambda[/tex3] .

O coeficiente angular dessa reta é dado por [tex3]m = \frac{y+2}{x-3}[/tex3] .

Derivando implicitamente a eq. da circunferência, vem que

[tex3]2(x-2)+2(y-3)y' = 0 \iff y' = \frac{2-x}{y-3}[/tex3] . Como já sabes, a derivada é o coeficiente angular naquele ponto, então vem que os coeficientes angulas devem ser iguais, ou seja, [tex3]m = y'[/tex3] .

[tex3]\frac{y+2}{x-3} = \frac{2-x}{y-3} \iff x^2 +y^2-5x-y = 0 \ (x \neq 3 , y \neq 3) \ (i)[/tex3]

Mas, de [tex3]\lambda[/tex3] temos que

[tex3]x^2+y^2 -4x-6y = 0 \ (ii)[/tex3]

Então, fazendo [tex3](ii) - (i)[/tex3] , vem que

[tex3]x = 5y[/tex3] .

Substituindo em [tex3](i)[/tex3] ou [tex3](ii)[/tex3] , vem que [tex3]y = 0[/tex3] ou [tex3]y = 1[/tex3] .

Logo, temos que [tex3](3,-2) ; (0,0)[/tex3] ou [tex3](3,-2);(5,1)[/tex3] . Uma das retas seria justamente a que passa por [tex3](3,-2);(5,1)[/tex3] , que é [tex3]2y = 3x - 13 \iff 3x-2y-13=0[/tex3] .

Mensagem não lidapor **LtCharly** » 08 Abr 2021, 04:46 · Mensagem não lida por **LtCharly** » 08 Abr 2021, 04:46

snooplammer muito obrigado, bela resolução

... Essa de igualar os coeficientes... Nunca vou esquecer

Ensino Superior ⇒ Reta tangente a uma Circunferência Tópico resolvido

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