Ensino Superior ⇒ Reta Tangente A Uma Curva Tópico resolvido

[LtCharly]

Minha dúvida é sobre como achar a reta r tangente à curva x = 3y² sabendo que a reta r passa pelo ponto A(-3,0) usando derivadas. ^^

Resposta

---

x+6y+3 = 0

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Supondo que r seja tangente ao gráfico de f(x) = y = ± [tex3]\frac{\sqrt{3x}}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{3x}}{3}[/tex3]

em ( p , f( p ) ) , a equação de r será

r : y - f( p ) = f'( p ).( x - p ).

Daí,

[tex3]\begin{cases}
f(p)=±\frac{\sqrt{3p}}{3} \\
f'(p) = ±\frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{p}}
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
f(p)=±\frac{\sqrt{3p}}{3} \\
f'(p) = ±\frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{p}}
\end{cases}[/tex3]

e , assim,

[tex3]r:y ±\frac{\sqrt{3p}}{3} = ±\frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{p}}.(x-p)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r:y ±\frac{\sqrt{3p}}{3} = ±\frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{p}}.(x-p)[/tex3]

Vamos "pegar" a seguinte equação [tex3]y -\frac{\sqrt{3p}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{p}}.(x-p)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y -\frac{\sqrt{3p}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{p}}.(x-p)[/tex3]

Como r passa pelo ponto A( - 3 , 0 ) , temos que

[tex3]0-\frac{\sqrt{3p}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{p}}.(-3-p)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0-\frac{\sqrt{3p}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{p}}.(-3-p)[/tex3]

Desenvolvendo, obtemos

p = 3

Substituindo p = 3 em [tex3]y -\frac{\sqrt{3p}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{p}}.(x-p)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y -\frac{\sqrt{3p}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{p}}.(x-p)[/tex3]

, encontramos

r : x - 6y + 3 = 0


Substituindo p = 3 em [tex3]y + \frac{\sqrt{3p}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{p}}.(x-p)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y + \frac{\sqrt{3p}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{p}}.(x-p)[/tex3]

, encontramos

r : x + 6y + 3 = 0.

Portanto, uma reta r tangente à curva x = 3y² que passa pelo ponto A( - 3 , 0 ) é x + 6y + 3 = 0.



Excelente estudo!

[LtCharly]

Cardoso1979 muitíssimo obrigado pela bela resolução

Quase agora vi uma questão muito parecida, só que era de uma circunferência... A questão dá um ponto P fora da circ. e pede a reta tangente, alguma dica sobre como eu poderia prosseguir para achar os outros dois pontos Pertencentes a circ. ? Já tendo em mãos a f'(x) da circ. , mas aí, o que seria f(x) para jogar na fórmula da reta (travei)...

Sei que dá para apelar para a geometria, mas aí é um caso muito específico....

[Cardoso1979]

Cardoso1979 muitíssimo obrigado pela bela resolução

Disponha