Ensino SuperiorReta Tangente A Uma Curva Tópico resolvido

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LtCharly
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Reta Tangente A Uma Curva

Mensagem não lida por LtCharly »

Minha dúvida é sobre como achar a reta r tangente à curva x = 3y2 sabendo que a reta r passa pelo ponto A(-3,0) usando derivadas. ^^
Resposta

x+6y+3 = 0




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Cardoso1979
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Abr 2021 05 13:30

Re: Reta Tangente A Uma Curva

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma solução:

Supondo que r seja tangente ao gráfico de f(x) = y = ± [tex3]\frac{\sqrt{3x}}{3}[/tex3] em ( p , f( p ) ) , a equação de r será

r : y - f( p ) = f'( p ).( x - p ).

Daí,

[tex3]\begin{cases}
f(p)=±\frac{\sqrt{3p}}{3} \\
f'(p) = ±\frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{p}}
\end{cases}[/tex3]

e , assim,

[tex3]r:y ±\frac{\sqrt{3p}}{3} = ±\frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{p}}.(x-p)[/tex3]

Vamos "pegar" a seguinte equação [tex3]y -\frac{\sqrt{3p}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{p}}.(x-p)[/tex3]

Como r passa pelo ponto A( - 3 , 0 ) , temos que

[tex3]0-\frac{\sqrt{3p}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{p}}.(-3-p)[/tex3]

Desenvolvendo, obtemos

p = 3

Substituindo p = 3 em [tex3]y -\frac{\sqrt{3p}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{p}}.(x-p)[/tex3] , encontramos

r : x - 6y + 3 = 0


Substituindo p = 3 em [tex3]y + \frac{\sqrt{3p}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{6\sqrt{p}}.(x-p)[/tex3] , encontramos

r : x + 6y + 3 = 0.

Portanto, uma reta r tangente à curva x = 3y² que passa pelo ponto A( - 3 , 0 ) é x + 6y + 3 = 0.



Excelente estudo!




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Abr 2021 06 04:49

Re: Reta Tangente A Uma Curva

Mensagem não lida por LtCharly »

Cardoso1979 muitíssimo obrigado pela bela resolução :)

Quase agora vi uma questão muito parecida, só que era de uma circunferência... A questão dá um ponto P fora da circ. e pede a reta tangente, alguma dica sobre como eu poderia prosseguir para achar os outros dois pontos Pertencentes a circ. ? Já tendo em mãos a f'(x) da circ. , mas aí, o que seria f(x) para jogar na fórmula da reta (travei)...

Sei que dá para apelar para a geometria, mas aí é um caso muito específico....
Última edição: LtCharly (Ter 06 Abr, 2021 04:54). Total de 1 vez.



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Cardoso1979
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Re: Reta Tangente A Uma Curva

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

LtCharly escreveu:
Ter 06 Abr, 2021 04:49
Cardoso1979 muitíssimo obrigado pela bela resolução :)
Disponha 👍




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