Ensino Superior ⇒ Parametrização Circunferência Tópico resolvido

[s4br]

Uma circunferência, no plano xz, tem como centro o ponto P=(5,0) e raio r=2. Girando esta circunferência em torno do eixo z, obtemos uma superfície. Parametrize esta superfície de revolução, e esboce o gráfico dela.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Obs.1 Ao rotacionarmos a circunferência com os dados mencionados na questão, o lugar geométrico tridimensional a se formar é um toro.( toro de revolução ).

A geratriz do toro é o círculo:

[tex3]\mathcal{C} : \begin{cases}
(x-5)^2 + z^2 = 4 \\
y = 0
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathcal{C} : \begin{cases}
(x-5)^2 + z^2 = 4 \\
y = 0
\end{cases}[/tex3]

Fazendo f( x' , z' ) = ( x' - 5 )^2 + z'^2 - 4 = 0 e substitua a variável z' por z e a variável x' por √( x² + y² ) , para obtermos a equação cartesiana do toro.

[ √( x² + y² ) - 5 ]^2 + z² = 4

Sendo,

[tex3]\mathcal{C} : \begin{cases}
x(s) = 2cos(s) \ + 5 \\
y(s) = 0 \\
z(s) = 2sen(s)
\end{cases} ; \ s\in \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathcal{C} : \begin{cases}
x(s) = 2cos(s) \ + 5 \\
y(s) = 0 \\
z(s) = 2sen(s)
\end{cases} ; \ s\in \mathbb{R}[/tex3]

uma parametrização do círculo [tex3]\mathcal{C}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathcal{C}[/tex3]

, temos que


[tex3]\mathcal{P}_{s} : \begin{cases}
x_{s}(t) = [2cos(s) \ + 5].cos (t) \\
y_{s}(t) = [2cos(s) \ + 5].sen (t) \\
z_{s}(t) = 2sen(s)
\end{cases} ; \ t \in \mathbb{R} , [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathcal{P}_{s} : \begin{cases}
x_{s}(t) = [2cos(s) \ + 5].cos (t) \\
y_{s}(t) = [2cos(s) \ + 5].sen (t) \\
z_{s}(t) = 2sen(s)
\end{cases} ; \ t \in \mathbb{R} , [/tex3]

é uma parametrização do paralelo [tex3]\mathcal{P}_{s}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathcal{P}_{s}[/tex3]

, círculo de centro [tex3]\mathcal{A}_{s} = (0,0,2sen(s))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathcal{A}_{s} = (0,0,2sen(s))[/tex3]

e raio 2cos(s) + 5 , contido no plano z = 2sen(s).

Então,


[tex3]\mathcal{T}: \begin{cases}
x(s,t) = [2cos(s) \ + 5].cos (t) \\
y(s,t) = [2cos(s) \ + 5].sen (t) \\
z(s,t) = 2sen(s)
\end{cases} ; \ s \ t \in \mathbb{R} , [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathcal{T}: \begin{cases}
x(s,t) = [2cos(s) \ + 5].cos (t) \\
y(s,t) = [2cos(s) \ + 5].sen (t) \\
z(s,t) = 2sen(s)
\end{cases} ; \ s \ t \in \mathbb{R} , [/tex3]

é uma parametrização do toro de revolução de geratriz [tex3]\mathcal{C}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathcal{C}[/tex3]

e eixo Oz.

Obs.2 Existem outras maneiras de se encontrar essa mesma resposta , usando cálculos geométricos...




Obs.3

Um toro centrado na origem, tendo o eixo Oz como eixo de rotação e tendo R e r como raios maior e menor respectivamente , é descrito pelas equações paramétricas :

[tex3] T_{R,r}(u,v): \begin{cases}
x = [r.cos(u) \ + R].cos (v) \\
y = [r.cos(u) \ + R].sen (v) \\
z = r.sen(u)
\end{cases} [/tex3]

onde, se P é um ponto em sua superfície, o parâmetro u é a posição angular de P na circunferência cuja rotação gera o toro e v é a posição angular do plano em que a circunferência " rotativa " está localizada em relação ao eixo z .

A figura a seguir mostra o significado das equações paramétricas acima.

Torus-figure-fig03.jpg (57.27 KiB) Exibido 905 vezes

A equação cartesiana do toro é:

[ √( x² + y² ) - R ]^2 + z² = r².


Para este caso específico( a sua questão ), uma representação para as equações paramétricas é

[tex3] T_{R,r}(u,v): \begin{cases}
x = [2cos(u) \ + 5].cos (v) \\
y = [2cos(u) \ + 5].sen (v) \\
z = 2sen(u)
\end{cases} [/tex3].


Obs.4

r = 2 = raio da circunferência geratriz do toro.

R = 5 = raio da circunferência que é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do centro do toro ao centro da circunferência geratriz.

Graficamente:

08_11_toro.png (29.51 KiB) Exibido 905 vezes

Outro gráfico:

Screenshot_20210413-165239.png (88.19 KiB) Exibido 905 vezes

Neste caso aí , basta você trocar o b pelo 5.

Logo,

x = 5cos(θ) + 2cos(α).cos (θ) , y = 5sen(θ) + 2cos(α).sen(θ) , z = 2sen(α) , onde 0 ≤ α ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ 2π.


Excelente estudo!