Ensino Superior ⇒ Parametrização Circunferência Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mar 2021
30
12:17
Parametrização Circunferência
Uma circunferência, no plano xz, tem como centro o ponto P=(5,0) e raio r=2. Girando esta circunferência em torno do eixo z, obtemos uma superfície. Parametrize esta superfície de revolução, e esboce o gráfico dela.
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Abr 2021
14
12:16
Re: Parametrização Circunferência
Observe
Uma solução:
Obs.1 Ao rotacionarmos a circunferência com os dados mencionados na questão, o lugar geométrico tridimensional a se formar é um toro.( toro de revolução ).
A geratriz do toro é o círculo:
[tex3]\mathcal{C} : \begin{cases}
(x-5)^2 + z^2 = 4 \\
y = 0
\end{cases}[/tex3]
Fazendo f( x' , z' ) = ( x' - 5 )² + z'² - 4 = 0 e substitua a variável z' por z e a variável x' por √( x² + y² ) , para obtermos a equação cartesiana do toro.
[ √( x² + y² ) - 5 ]² + z² = 4
Sendo,
[tex3]\mathcal{C} : \begin{cases}
x(s) = 2cos(s) \ + 5 \\
y(s) = 0 \\
z(s) = 2sen(s)
\end{cases} ; \ s\in \mathbb{R}[/tex3]
uma parametrização do círculo [tex3]\mathcal{C}[/tex3] , temos que
[tex3]\mathcal{P}_{s} : \begin{cases}
x_{s}(t) = [2cos(s) \ + 5].cos (t) \\
y_{s}(t) = [2cos(s) \ + 5].sen (t) \\
z_{s}(t) = 2sen(s)
\end{cases} ; \ t \in \mathbb{R} , [/tex3]
é uma parametrização do paralelo [tex3]\mathcal{P}_{s}[/tex3] , círculo de centro [tex3]\mathcal{A}_{s} = (0,0,2sen(s))[/tex3] e raio 2cos(s) + 5 , contido no plano z = 2sen(s).
Então,
[tex3]\mathcal{T}: \begin{cases}
x(s,t) = [2cos(s) \ + 5].cos (t) \\
y(s,t) = [2cos(s) \ + 5].sen (t) \\
z(s,t) = 2sen(s)
\end{cases} ; \ s \ t \in \mathbb{R} , [/tex3]
é uma parametrização do toro de revolução de geratriz [tex3]\mathcal{C}[/tex3] e eixo Oz.
Obs.2 Existem outras maneiras de se encontrar essa mesma resposta , usando cálculos geométricos...
Obs.3
Um toro centrado na origem, tendo o eixo Oz como eixo de rotação e tendo R e r como raios maior e menor respectivamente , é descrito pelas equações paramétricas :
[tex3] T_{R,r}(u,v): \begin{cases}
x = [r.cos(u) \ + R].cos (v) \\
y = [r.cos(u) \ + R].sen (v) \\
z = r.sen(u)
\end{cases} [/tex3]
onde, se P é um ponto em sua superfície, o parâmetro u é a posição angular de P na circunferência cuja rotação gera o toro e v é a posição angular do plano em que a circunferência " rotativa " está localizada em relação ao eixo z .
A figura a seguir mostra o significado das equações paramétricas acima.
A equação cartesiana do toro é:
[ √( x² + y² ) - R ]² + z² = r².
Para este caso específico( a sua questão ), uma representação para as equações paramétricas é
[tex3] T_{R,r}(u,v): \begin{cases}
x = [2cos(u) \ + 5].cos (v) \\
y = [2cos(u) \ + 5].sen (v) \\
z = 2sen(u)
\end{cases} [/tex3].
Obs.4
r = 2 = raio da circunferência geratriz do toro.
R = 5 = raio da circunferência que é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do centro do toro ao centro da circunferência geratriz.
Graficamente:
Outro gráfico:
Neste caso aí , basta você trocar o b pelo 5.
Logo,
x = 5cos(θ) + 2cos(α).cos (θ) , y = 5sen(θ) + 2cos(α).sen(θ) , z = 2sen(α) , onde 0 ≤ α ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ 2π.
Excelente estudo!
Uma solução:
Obs.1 Ao rotacionarmos a circunferência com os dados mencionados na questão, o lugar geométrico tridimensional a se formar é um toro.( toro de revolução ).
A geratriz do toro é o círculo:
[tex3]\mathcal{C} : \begin{cases}
(x-5)^2 + z^2 = 4 \\
y = 0
\end{cases}[/tex3]
Fazendo f( x' , z' ) = ( x' - 5 )² + z'² - 4 = 0 e substitua a variável z' por z e a variável x' por √( x² + y² ) , para obtermos a equação cartesiana do toro.
[ √( x² + y² ) - 5 ]² + z² = 4
Sendo,
[tex3]\mathcal{C} : \begin{cases}
x(s) = 2cos(s) \ + 5 \\
y(s) = 0 \\
z(s) = 2sen(s)
\end{cases} ; \ s\in \mathbb{R}[/tex3]
uma parametrização do círculo [tex3]\mathcal{C}[/tex3] , temos que
[tex3]\mathcal{P}_{s} : \begin{cases}
x_{s}(t) = [2cos(s) \ + 5].cos (t) \\
y_{s}(t) = [2cos(s) \ + 5].sen (t) \\
z_{s}(t) = 2sen(s)
\end{cases} ; \ t \in \mathbb{R} , [/tex3]
é uma parametrização do paralelo [tex3]\mathcal{P}_{s}[/tex3] , círculo de centro [tex3]\mathcal{A}_{s} = (0,0,2sen(s))[/tex3] e raio 2cos(s) + 5 , contido no plano z = 2sen(s).
Então,
[tex3]\mathcal{T}: \begin{cases}
x(s,t) = [2cos(s) \ + 5].cos (t) \\
y(s,t) = [2cos(s) \ + 5].sen (t) \\
z(s,t) = 2sen(s)
\end{cases} ; \ s \ t \in \mathbb{R} , [/tex3]
é uma parametrização do toro de revolução de geratriz [tex3]\mathcal{C}[/tex3] e eixo Oz.
Obs.2 Existem outras maneiras de se encontrar essa mesma resposta , usando cálculos geométricos...
Obs.3
Um toro centrado na origem, tendo o eixo Oz como eixo de rotação e tendo R e r como raios maior e menor respectivamente , é descrito pelas equações paramétricas :
[tex3] T_{R,r}(u,v): \begin{cases}
x = [r.cos(u) \ + R].cos (v) \\
y = [r.cos(u) \ + R].sen (v) \\
z = r.sen(u)
\end{cases} [/tex3]
onde, se P é um ponto em sua superfície, o parâmetro u é a posição angular de P na circunferência cuja rotação gera o toro e v é a posição angular do plano em que a circunferência " rotativa " está localizada em relação ao eixo z .
A figura a seguir mostra o significado das equações paramétricas acima.
A equação cartesiana do toro é:
[ √( x² + y² ) - R ]² + z² = r².
Para este caso específico( a sua questão ), uma representação para as equações paramétricas é
[tex3] T_{R,r}(u,v): \begin{cases}
x = [2cos(u) \ + 5].cos (v) \\
y = [2cos(u) \ + 5].sen (v) \\
z = 2sen(u)
\end{cases} [/tex3].
Obs.4
r = 2 = raio da circunferência geratriz do toro.
R = 5 = raio da circunferência que é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do centro do toro ao centro da circunferência geratriz.
Graficamente:
Outro gráfico:
Neste caso aí , basta você trocar o b pelo 5.
Logo,
x = 5cos(θ) + 2cos(α).cos (θ) , y = 5sen(θ) + 2cos(α).sen(θ) , z = 2sen(α) , onde 0 ≤ α ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ 2π.
Excelente estudo!
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