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Mensagem não lidapor **Loreto** » Qui 25 Fev, 2021 21:37 · Mensagem não lida por **Loreto** » Qui 25 Fev, 2021 21:37

Julgue verdade ou falso a afirmação:

2. Sejam f: [tex3]\rightarrow R[/tex3] e p [tex3]\in R[/tex3] . Se f é derivável em p então existe L [tex3]\in R[/tex3] tal que L = [tex3]\lim_{x \rightarrow p}f(x)[/tex3]

MINHA SOLUÇÃO:

VERDADEIRA. Eu penso que essa é uma afirmação verdadeira porque se f é derivável, ela é continua. Se f é contínua então existe L, tal que L = [tex3]\lim_{x \rightarrow p}f(x)[/tex3] . Ok?

I) Existe função f derivável em [0,1] tal que:

[tex3]f'(x) = [/tex3] 0 , se x [tex3]\in [0,1] \cap Q[/tex3]
1, se x [tex3]\in [0,1] \cap (R-Q)[/tex3]

MINHA SOLUÇÃO: FALSO, porque se essa função fosse derivável ela seria contínua. Mas ela não é continua, e portanto, não pode ser derivável.

II) Existe função f: [tex3]R\rightarrow R[/tex3] derivável tal que [tex3]f'(x) = |x|[/tex3] , para todo x [tex3]\in R[/tex3] .

MINHA SOLUÇÃO:

FALSO. Penso ser falsa porque se trata de uma função módulo. E a função módulo não é derivável.

III) O polinômio de Taylor de ordem 5 de [tex3]f(x) = cos x[/tex3] em volta de [tex3]x_0=0[/tex3] é um polinômio de grau 5.

FALSO. Desenvolvi o polinômio de Taylor de em [tex3]x_0 = 0[/tex3] e obtive o [tex3]P_5(x) = 1 - x² + x^4[/tex3] . Grau 4.

Alguém pode corrigir? Obrigadoo !!

essa é confusa, vamos lá:

a primeira é verdadeira. A prova rigorosa é a seguinte:

Suponha que [tex3]f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R[/tex3] seja derivável em [tex3]p \in \mathbb R[/tex3] .

Então é verdade que: [tex3]f(p) = f(p) = [f(p) - f(x)] + f(x)[/tex3] para qualquer [tex3]x \in\ \mathbb R[/tex3] , certo? Suponha [tex3]x \neq p[/tex3] , então podemos fazer o seguinte:

[tex3]f(p) = f(x) - (x-p) \cdot \frac{f(x) - f(p)}{x-p}[/tex3] .

Veja então que [tex3]f(x) = f(p) + (x-p) \cdot \frac{f(x) - f(p)}{x-p}[/tex3] repare que o limite:

[tex3]\lim_{x \rightarrow p} f(p) = f(p)[/tex3] pois é o limite de uma função constante em [tex3]x[/tex3] e
[tex3]\lim_{x \rightarrow p} \frac{f(x) - f(p)}{x-p}= f'(p) = m \in \mathbb R[/tex3] , pois [tex3]f[/tex3] é derivável em [tex3]p[/tex3] , por hipótese. Logo:

[tex3]\lim_{x \rightarrow p} [f(p) + (x-p) \frac{f(x) - f(p)}{x-p}] = f(p) + m \cdot \lim_{x \rightarrow p} (x-p) = f(p) + m \cdot 0 = f(p) = \lim_{x \rightarrow p} f(x)[/tex3] .

Segunda: ela é falsa, mas sua justificativa está incorreta. A derivada não necessariamente é contínua, mas ela deve ser uma função de Darboux: https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Darboux

Terceira: Verdadeira, basta fazer a integral da função |x|: vai dar a função f(x) = x*|x|/2

Quarta: Você está quase correto: [tex3]p(x) = 1 - x^2/2 + x^4/(24)[/tex3]

Mensagem não lidapor **Loreto** » Qui 25 Fev, 2021 23:14 · Mensagem não lida por **Loreto** » Qui 25 Fev, 2021 23:14

Primeiramente, muito obrigado FelipeMartin ,

Você poderia me explicar melhor porque nesse item 3, se trata de uma função de Darboux ? Não compreendi muito bem.

ITEM 4 - Eu acabei esquecendo dos fatoriais lá no denominador. Valeu ;D

Loreto, o teorema do link prova que quando uma função do tipo [tex3]f: I \rightarrow \mathbb R[/tex3] , com [tex3]I[/tex3] sendo um intervalo de [tex3]\mathbb R[/tex3] , quando é derivável em [tex3]I[/tex3] , devemos ter [tex3]f'(x)[/tex3] sendo uma função de Darboux: uma função não-necessariamente contínua, porém, que obedece ao teorema do valor intermediário (válido pra toda função contínua). A demonstração deste teorema está no link, mas tem aqui no fórum também eu acho.

A função apresentada, além de descontínua, não satisfaz a propriedade de Darboux, pois [tex3]f([0,1]) = \{0,1\}[/tex3] que não é um intervalo. Logo, não existe a tal f.

Mensagem não lidapor **Loreto** » Sex 26 Fev, 2021 01:10 · Mensagem não lida por **Loreto** » Sex 26 Fev, 2021 01:10

FelipeMartin escreveu: ↑
Qui 25 Fev, 2021 23:22
Loreto, o teorema do link prova que quando uma função do tipo [tex3]f: I \rightarrow \mathbb R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f: I \rightarrow \mathbb R[/tex3]

, com [tex3]I[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]I[/tex3]

sendo um intervalo de [tex3]\mathbb R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbb R[/tex3]

, quando é derivável em [tex3]I[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]I[/tex3]

, devemos ter [tex3]f'(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(x)[/tex3]

sendo uma função de Darboux: uma função não-necessariamente contínua, porém, que obedece ao teorema do valor intermediário (válido pra toda função contínua). A demonstração deste teorema está no link, mas tem aqui no fórum também eu acho.

A função apresentada, além de descontínua, não satisfaz a propriedade de Darboux, pois [tex3]f([0,1]) = \{0,1\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f([0,1]) = \{0,1\}[/tex3]

que não é um intervalo. Logo, não existe a tal f.

Compreendo. Obrigado por me ajudar, te desejo muito sucesso !! Um abraço.

FelipeMartin escreveu: ↑
Qui 25 Fev, 2021 23:22
[tex3]f([0,1]) = \{0,1\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f([0,1]) = \{0,1\}[/tex3]

eu sou um analfabeto na hora de escrever.

Aqui é [tex3]f'([0,1]) = \{0,1\}[/tex3] e essa função não respeita o teorema do valor intermediário, justamente porque o conjunto [tex3]\{0,1\}[/tex3] não é um intervalo. Não existe um [tex3]x[/tex3] tal que [tex3]f'(x) = \frac12[/tex3] por exemplo.

Mensagem não lidapor **Loreto** » Sáb 27 Fev, 2021 01:19

Sim, porque todo número [tex3][0,1]\cap Q = 0[/tex3] , correto?!

Loreto, não entendi o que você quis dizer

Mensagem não lidapor **Loreto** » Sáb 27 Fev, 2021 13:45

Eu quis justificar a verdade que você disse em "Não existe um x tal que f'(x) = 1/2" . De fato não pode existir, porque toda [tex3]f'(x) \in
[0,1] \cap Q = 0[/tex3]

Loreto escreveu: ↑
Sáb 27 Fev, 2021 13:45
Eu quis justificar a verdade que você disse em "Não existe um x tal que f'(x) = 1/2" . De fato não pode existir, porque toda [tex3]f'(x) \in
[0,1] \cap Q = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(x) \in [0,1] \cap Q = 0[/tex3]

ok, acho que seria melhor escrever assim: [tex3]f'([0,1] \cap \mathbb Q) = 0[/tex3] é isso mesmo

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