Ensino Superior ⇒ (Barcelos) Máximo, mínimo e inflexões

[Deleted User 23699]

Ache o máximo, mínimo e pontos de inflexão nos intervalos indicados.

b) y = 2x - tg(x) (0 a pi)
c) y = tg(x) - 4x (0 a pi)
d) y = 3sen(x) - 4cos(x) (0 a 2pi)
e) [tex3]y=sen\pi x-cos\pi x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=sen\pi x-cos\pi x[/tex3]

(0 a 2)

O livro não possui gabarito

Eu derivei e igualei a zero, mas jogando no Geogebra, os resultados ficaram estranhos.

[baltuilhe]

Boa tarde!

Fazer a letra b), siga a mesma ideia para as outras!
b)
Domínio ==> (0 a π)
Função, derivadas de 1^a e 2^a ordens:
[tex3]y=2x-\tan(x)\\
y'=2-\sec^2(x)\\
y''=-2\sec^2(x)\tan(x)
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=2x-\tan(x)\\
y'=2-\sec^2(x)\\
y''=-2\sec^2(x)\tan(x)
[/tex3]

Procurando pontos críticos:
[tex3]y'=0\\
2-\sec^2(x)=0\\
\sec^2(x)=2\\
\sec(x)=\pm\sqrt{2}\\
\cos(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\\
x=\frac{\pi}{4}\vee x=\frac{3\pi}{4}\vee x=\frac{5\pi}{4}\vee x=\frac{7\pi}{4}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y'=0\\
2-\sec^2(x)=0\\
\sec^2(x)=2\\
\sec(x)=\pm\sqrt{2}\\
\cos(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\\
x=\frac{\pi}{4}\vee x=\frac{3\pi}{4}\vee x=\frac{5\pi}{4}\vee x=\frac{7\pi}{4}
[/tex3]

Analisando se são pontos de máximo ou mínimo, pela derivada de 2^a ordem:
[tex3]y''=-2\sec^2(x)\tan(x)\\
x=\frac{\pi}{4}\rightarrow y''=-4\rightarrow\text{Ponto de MÁXIMO}\\
x=\frac{3\pi}{4}\rightarrow y''=4\rightarrow\text{Ponto de MÍNIMO}\\
x=\frac{5\pi}{4}\rightarrow y''=-4\rightarrow\text{Ponto de MÁXIMO}\\
x=\frac{7\pi}{4}\rightarrow y''=4\rightarrow\text{Ponto de MÍNIMO}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y''=-2\sec^2(x)\tan(x)\\
x=\frac{\pi}{4}\rightarrow y''=-4\rightarrow\text{Ponto de MÁXIMO}\\
x=\frac{3\pi}{4}\rightarrow y''=4\rightarrow\text{Ponto de MÍNIMO}\\
x=\frac{5\pi}{4}\rightarrow y''=-4\rightarrow\text{Ponto de MÁXIMO}\\
x=\frac{7\pi}{4}\rightarrow y''=4\rightarrow\text{Ponto de MÍNIMO}
[/tex3]

Procurando por pontos de inflexão:
[tex3]y''=0\\
-2\sec^2(x)\tan(x)=0\\
\sec^2(x)=0\rightarrow \nexists x\\
\tan(x)=0\rightarrow x=0\vee x=\pi
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y''=0\\
-2\sec^2(x)\tan(x)=0\\
\sec^2(x)=0\rightarrow \nexists x\\
\tan(x)=0\rightarrow x=0\vee x=\pi
[/tex3]

Analisando se há mudança de sinal:
[tex3]0 < x < \frac{\pi}{2} \rightarrow y'' < 0\rightarrow\text{Concavidade para BAIXO}\\
\frac{\pi}{2} < x < \pi\rightarrow y'' > 0\rightarrow\text{Concavidade para CIMA}\\
\pi < x < \frac{3\pi}{2} \rightarrow y'' < 0\rightarrow\text{Concavidade para BAIXO}\\
\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi\rightarrow y'' > 0\rightarrow\text{Concavidade para CIMA}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0 < x < \frac{\pi}{2} \rightarrow y'' < 0\rightarrow\text{Concavidade para BAIXO}\\
\frac{\pi}{2} < x < \pi\rightarrow y'' > 0\rightarrow\text{Concavidade para CIMA}\\
\pi < x < \frac{3\pi}{2} \rightarrow y'' < 0\rightarrow\text{Concavidade para BAIXO}\\
\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi\rightarrow y'' > 0\rightarrow\text{Concavidade para CIMA}
[/tex3]

Como há mudanças, pontos de inflexão.