Ensino Superior ⇒ Variáveis Aleatórias Contínuas Tópico resolvido

[medici]

Uma mensagem de e-mail chegará em um horário uniformemente distribuído entre
9h00 e 11h00. Você verifica o e-mail às 9h15 e a cada 30 minutos depois.
a) Qual é o desvio padrão da hora de chegada (em minutos)?
b) Qual é a probabilidade de a mensagem chegar a menos de 10 minutos antes de
você ver?
c) Qual é a probabilidade de que a mensagem chegue mais do que 15 minutos antes
de você ver?

Resposta

---

a) 34,64 b)1/3 c)1/2

[Cardoso1979]

Observe

Bom, tem umas três maneiras de se resolver este exercício, porém irei resolver da maneira mais elegante.

Uma solução:

a) Qual é o desvio padrão da hora de chegada (em minutos)?

De acordo com a letra a) , temos que X ~ U( 9 ; 11 ).

Onde ,

[tex3]\begin{cases}
a=9 \\
b= 11 \\
\sigma = ?
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a=9 \\
b= 11 \\
\sigma = ?
\end{cases}[/tex3]

Como trata-se de uma distribuição uniforme, usaremos a seguinte fórmula para determinar o desvio padrão:

[tex3]\sigma = \sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sigma = \sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}}[/tex3]

.

Obs.

b - a = 11 - 9 = 2h = 120min.

[tex3]\sigma = \sqrt{\frac{(120)^2}{12}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sigma = \sqrt{\frac{(120)^2}{12}}[/tex3]

[tex3]\sigma = \sqrt{\frac{14400}{12}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sigma = \sqrt{\frac{14400}{12}}[/tex3]

[tex3]\sigma = \sqrt{1200}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sigma = \sqrt{1200}[/tex3]

[tex3]\sigma = 34,64[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sigma = 34,64[/tex3]

b) Qual é a probabilidade de a mensagem chegar a menos de 10 minutos antes de você ver?

Agora aqui , atente para a pergunta, o intervalo a ser considerado é ( 0 < x < 30 ).

Usaremos a função densidade abaixo:

[tex3]f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{b-a} \ , para \ a ≤ x ≤ b \\
\\
0 \ , \ caso \ contrário
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{b-a} \ , para \ a ≤ x ≤ b \\
\\
0 \ , \ caso \ contrário
\end{cases}[/tex3]

Onde ,

a = 0 e b = 30

Daí,


[tex3]f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{30} \ , para \ 0 ≤ x ≤ 30 \\
\\
0 \ , \ caso \ contrário
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{30} \ , para \ 0 ≤ x ≤ 30 \\
\\
0 \ , \ caso \ contrário
\end{cases}[/tex3]

Assim,

[tex3]P( X < 10 ) = P( 0 < x < 10 ) = \int\limits_{0}^{10}f (x) \ dx = \int\limits_{0}^{10}\frac{1}{30}dx = \left[\frac{x}{30}\right]^{10}_{0} = \frac{10}{30} - \frac{0}{30} = \frac{1}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P( X < 10 ) = P( 0 < x < 10 ) = \int\limits_{0}^{10}f (x) \ dx = \int\limits_{0}^{10}\frac{1}{30}dx = \left[\frac{x}{30}\right]^{10}_{0} = \frac{10}{30} - \frac{0}{30} = \frac{1}{3}[/tex3]

Portanto, P( X < 10 ) = [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

.




c) Qual é a probabilidade de que a mensagem chegue mais do que 15 minutos antes de você ver?


[tex3]P( X > 15 ) = P( 15 < x < 30 ) = \int\limits_{15}^{30}f (x) \ dx = \int\limits_{15}^{30}\frac{1}{30}dx = \left[\frac{x}{30}\right]^{30}_{15} = \frac{30}{30} - \frac{15}{30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P( X > 15 ) = P( 15 < x < 30 ) = \int\limits_{15}^{30}f (x) \ dx = \int\limits_{15}^{30}\frac{1}{30}dx = \left[\frac{x}{30}\right]^{30}_{15} = \frac{30}{30} - \frac{15}{30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}[/tex3]

Portanto, P( X > 15 ) = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

.

Nota

Qualquer conclusão ( para ser mais claro, todas , sem exceção ) que eu cheguei com relação a esta questão, ficará a cargo do leitor para verificar!



Excelente estudo!