Ensino SuperiorConjuntos não enumerável Tópico resolvido

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eliz2016
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Jan 2021 19 23:17

Conjuntos não enumerável

Mensagem não lida por eliz2016 »

Boa noite , segue a dúvida.
Sejam A e B conjuntos e B não enumerável. Prove que se existir uma função sobrejetiva de A em B, então A é não enumerável.



Obrigada.




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Cássio
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Jan 2021 21 08:56

Re: Conjuntos não enumerável

Mensagem não lida por Cássio »

Por absurdo, suponha que [tex3]A[/tex3] é enumerável. Sem perda de generalidade, digamos [tex3]A=\mathbb{N}[/tex3] e seja [tex3]f[/tex3] função sobrejetora de [tex3]\mathbb{N}[/tex3] em [tex3]B[/tex3] . Dado [tex3]b\in B[/tex3] , seja [tex3]\mathbb{N}_b:=\{n\in\mathbb{N}\mid f(n)=b\}.[/tex3] Pela sobrejetividade de [tex3]f[/tex3] , temos que [tex3]\mathbb{N}[/tex3] é não vazio. E pelo princípio da boa ordenação, tal conjunto possui menor elemento. Denotemos então [tex3]s_b:=\min\mathbb{N}_b[/tex3] .

Como [tex3]S=\{s_b\mid b\in B\}\subseteq \mathbb{N}[/tex3] , segue que [tex3]S[/tex3] é enumerável. É fácil notar que [tex3]f\big|_S: S\to B[/tex3] é uma bijeção. Portanto, [tex3]B[/tex3] é enumerável, contradição.



"Se você se sente menos e menos satisfeito com suas respostas a perguntas que você mesmo elabora mais e mais perfeitamente, é sinal de que sua capacidade intelectual está aumentando."
Charles Churchman

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eliz2016
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Fev 2021 03 23:27

Re: Conjuntos não enumerável

Mensagem não lida por eliz2016 »

Boa noite, muito obrigada pela ajuda.




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