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Conjuntos não enumerável
Enviado: Ter 19 Jan, 2021 23:17
por eliz2016
Boa noite , segue a dúvida.
Sejam A e B conjuntos e B não enumerável. Prove que se existir uma função sobrejetiva de A em B, então A é não enumerável.
Obrigada.
Re: Conjuntos não enumerável
Enviado: Qui 21 Jan, 2021 08:56
por Cássio
Por absurdo, suponha que [tex3]A[/tex3]
é enumerável. Sem perda de generalidade, digamos [tex3]A=\mathbb{N}[/tex3]
e seja [tex3]f[/tex3]
função sobrejetora de [tex3]\mathbb{N}[/tex3]
em [tex3]B[/tex3]
. Dado [tex3]b\in B[/tex3]
, seja [tex3]\mathbb{N}_b:=\{n\in\mathbb{N}\mid f(n)=b\}.[/tex3]
Pela sobrejetividade de [tex3]f[/tex3]
, temos que [tex3]\mathbb{N}[/tex3]
é não vazio. E pelo princípio da boa ordenação, tal conjunto possui menor elemento. Denotemos então [tex3]s_b:=\min\mathbb{N}_b[/tex3]
.
Como [tex3]S=\{s_b\mid b\in B\}\subseteq \mathbb{N}[/tex3]
, segue que [tex3]S[/tex3]
é enumerável. É fácil notar que [tex3]f\big|_S: S\to B[/tex3]
é uma bijeção. Portanto, [tex3]B[/tex3]
é enumerável, contradição.
Re: Conjuntos não enumerável
Enviado: Qua 03 Fev, 2021 23:27
por eliz2016
Boa noite, muito obrigada pela ajuda.