Boa noite , segue a dúvida.
Sejam A e B conjuntos e B não enumerável. Prove que se existir uma função sobrejetiva de A em B, então A é não enumerável.
Obrigada.
Ensino Superior ⇒ Conjuntos não enumerável Tópico resolvido
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Jan 2021
21
08:56
Re: Conjuntos não enumerável
Por absurdo, suponha que [tex3]A[/tex3]
Como [tex3]S=\{s_b\mid b\in B\}\subseteq \mathbb{N}[/tex3] , segue que [tex3]S[/tex3] é enumerável. É fácil notar que [tex3]f\big|_S: S\to B[/tex3] é uma bijeção. Portanto, [tex3]B[/tex3] é enumerável, contradição.
é enumerável. Sem perda de generalidade, digamos [tex3]A=\mathbb{N}[/tex3]
e seja [tex3]f[/tex3]
função sobrejetora de [tex3]\mathbb{N}[/tex3]
em [tex3]B[/tex3]
. Dado [tex3]b\in B[/tex3]
, seja [tex3]\mathbb{N}_b:=\{n\in\mathbb{N}\mid f(n)=b\}.[/tex3]
Pela sobrejetividade de [tex3]f[/tex3]
, temos que [tex3]\mathbb{N}[/tex3]
é não vazio. E pelo princípio da boa ordenação, tal conjunto possui menor elemento. Denotemos então [tex3]s_b:=\min\mathbb{N}_b[/tex3]
. Como [tex3]S=\{s_b\mid b\in B\}\subseteq \mathbb{N}[/tex3] , segue que [tex3]S[/tex3] é enumerável. É fácil notar que [tex3]f\big|_S: S\to B[/tex3] é uma bijeção. Portanto, [tex3]B[/tex3] é enumerável, contradição.
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Charles Churchman
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