Ensino Superior ⇒ Análise Tópico resolvido

[Loreto]

Seja f: [tex3]R\rightarrow R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R\rightarrow R[/tex3]

tal que f([0,1])={f(x)|x [tex3]\in [0,1][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\in [0,1][/tex3]

}

Se f é contínua em p=0 e g: [tex3]R\rightarrow R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R\rightarrow R[/tex3]

é uma função limitada, então lim [tex3]\lim_{x \rightarrow 0}f(x).g(x) = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0}f(x).g(x) = 0[/tex3]

.

Mostre que a proposição acima é uma afirmação que nem sempre é verdadeira.

Preciso urgente. Alguém pode me ajudar?

Pessoal, eu gostaria que alguém comentasse se eu fiz uma justificativa correta, conforme mostro nessa imagem abaixo.
Obrigado.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução( basta mostrar um contra-exemplo ):

Tome f( x ) = 1 e [tex3]g(x) = \frac{|x|}{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g(x) = \frac{|x|}{x}[/tex3]

. Note que f é contínua em p = 0 ( verifique!! ) e [tex3]g(x) = \frac{|x|}{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g(x) = \frac{|x|}{x}[/tex3]

é limitada em D = IR , mas

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0} f(x).g(x) = [/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0} f(x).g(x) = [/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0} 1.\frac{|x|}{x} = [/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0} 1.\frac{|x|}{x} = [/tex3]

Logo,

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0} \frac{|x|}{x} [/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0} \frac{|x|}{x} [/tex3]

não existe. ( Verifique!!! )

Screenshot_20210107-162249.png (26.69 KiB) Exibido 800 vezes

Obs. Pela maneira que você fez ( o que eu vi ) , você tomou f( x ) = 1/( x + 1 ) e g( x ) = | x |.

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0} \frac{|x|}{x+1} = 0😬[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0} \frac{|x|}{x+1} = 0😬[/tex3]

g( x ) = | x | é limitada?



Excelente estudo!

[Loreto]

Obrigado professor. Realmente eu não encontrei a melhor função pra fazer a justificativa, obrigado pela sua ajuda.

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0} \frac{|x|}{x} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0} \frac{|x|}{x} [/tex3]

esse limite não existe porque os limites laterias são diferentes.
A g(x) = |x|/x é limitada de -1< x < 1. ok?

[Cardoso1979]

A g(x) = |x|/x é limitada de -1< x < 1. ok?

Não! Cuidado , além de não fazer sentido , você ainda está incluindo o zero( 0 ) e como se vê o domínio dessa função é x ≠ 0, portanto nada a ver. A limitação está relacionada com a imagem ( variação ) da função. Analise o gráfico que eu postei acima e você irá perceber que a imagem da função [tex3]f( x ) = \frac{|x|}{x}[/tex3]

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[tex3]f( x ) = \frac{|x|}{x}[/tex3]

é : { f [tex3]\in [/tex3]

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[tex3]\in [/tex3]

[tex3]\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}[/tex3]

: f = ± 1 } digamos que a limitação dessa função é uma limitação "especial" ( diferenciada ).

Observe outros exemplos:

Screenshot_20210108-162516.png (57.59 KiB) Exibido 730 vezes

Perceba que a função seno varia no intervalo - 1 ≤ sen(x) ≤ 1 ou - 1 ≤ y ≤ 1 , portanto limitada nesse intervalo!

Screenshot_20210108-163247.png (34.62 KiB) Exibido 730 vezes

A função y = arc tg ( x ) é limitada no intervalo [tex3]\left]-\frac{π}{2},\frac{π}{2}\right[[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left]-\frac{π}{2},\frac{π}{2}\right[[/tex3]

, ou seja , - π/2 < f < π/2.


Observe agora esta função:

Screenshot_20210108-163826.png (33.62 KiB) Exibido 730 vezes

Claramente não é limitada!


Mas,

Screenshot_20210108-164021.png (31.66 KiB) Exibido 730 vezes

é limitada em [ 0 , 1 ] , ou seja , 0 ≤ y ≤ 1.

[Loreto]

SIm, então o correto era dizer que a imagem da função é limitada dessa forma:
-1<g(x)<1 ok ?

[Loreto]

Acho que assim está melhor. =D

[Cardoso1979]

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