Ensino Superior ⇒ Equações diferenciais ordinárias Tópico resolvido

[cbranco]

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Alguém pode ajudar nessa questão? Não entendi muito

[Cardoso1979]

Olá! Cadê o gabarito??? Ou a fonte???? Ou as alternativas???

[cbranco]

O gabarito não foi disponibilizado. Essa foi uma questão que meu professor de cálculo elaborou

[cbranco]

Olá! Cadê o gabarito??? Ou a fonte???? Ou as alternativas???

Essa questão foi elaborada pelo meu professor de cálculo. Infelizmente, ele não divulgou gabarito ou alternativas.

[undefinied3]

Por transformada de Laplace:

[tex3]f(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)[/tex3]

é um pulso retangular. Vamos escrever usando a função degrau:
[tex3]f(x)=u(x)-u(x-3)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=u(x)-u(x-3)[/tex3]

[tex3]sF(s)-y(0)+2F(s)=\frac{1}{s}-\frac{e^{-3s}}{s} \rightarrow (s+2)F(s)=\frac{1-e^{-3s}}{s} \rightarrow F(s)=\frac{1-e^{-3s}}{s(s+2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sF(s)-y(0)+2F(s)=\frac{1}{s}-\frac{e^{-3s}}{s} \rightarrow (s+2)F(s)=\frac{1-e^{-3s}}{s} \rightarrow F(s)=\frac{1-e^{-3s}}{s(s+2)}[/tex3]

Abrindo em frações parciais:

[tex3]\frac{1-e^{-3s}}{s(s+2)}=\frac{1}{2s}-\frac{1}{2(s+2)}-\frac{e^{-3s}}{2s}+\frac{e^{-3s}}{2(s+2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1-e^{-3s}}{s(s+2)}=\frac{1}{2s}-\frac{1}{2(s+2)}-\frac{e^{-3s}}{2s}+\frac{e^{-3s}}{2(s+2)}[/tex3]

Acho que o único termo que vale a pena destacar é a transformada inversa de [tex3]\frac{e^{-3s}}{2(s+2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{e^{-3s}}{2(s+2)}[/tex3]

, e mesmo assim não é nada demais:
Lembrando que [tex3]L \{u(t-c) f(t-c)\}=e^{-cs}F(s) \rightarrow L \{ u(t-3)e^{-2(t-3)} \}=\frac{e^{-3s}}{s+2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L \{u(t-c) f(t-c)\}=e^{-cs}F(s) \rightarrow L \{ u(t-3)e^{-2(t-3)} \}=\frac{e^{-3s}}{s+2}[/tex3]

Então:

[tex3]y(t)=\frac{1}{2}u(t)-\frac{1}{2}e^{-2t}-\frac{1}{2}u(t-3)+\frac{1}{2}u(t-3)e^{-2(t-3)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y(t)=\frac{1}{2}u(t)-\frac{1}{2}e^{-2t}-\frac{1}{2}u(t-3)+\frac{1}{2}u(t-3)e^{-2(t-3)}[/tex3]

Queremos [tex3]y(4)[/tex3]

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[tex3]y(4)[/tex3]

. Lembrando que [tex3]u(x) = 1[/tex3]

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[tex3]u(x) = 1[/tex3]

para [tex3]x >0[/tex3]

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[tex3]x >0[/tex3]

e zero caso contrário.
[tex3]\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-8}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{e^2}-\frac{1}{e^8})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-8}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{e^2}-\frac{1}{e^8})[/tex3]