Observe
Solução:
[tex3]\oint_C F \ dR= \oint_C Mdx \ + \ Ndy=\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}\frac{\partial N}{\partial x}dA \ - \ \int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}\frac{\partial M}{\partial y}dA = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}\left[\frac{\partial N}{\partial x} \ - \ \frac{\partial M}{\partial y}\right]dA[/tex3]
Ou seja,
[tex3]\oint_C Mdx \ + \ Ndy = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}\left[\frac{\partial N}{\partial x} \ - \ \frac{\partial M}{\partial y}\right]dA[/tex3]
Onde , M = y² + √( 4 - x² ) e N = ln(y) - 4x. Daí,
[tex3]\frac{\partial N}{\partial x} = [ln(y)-4x]'[/tex3]
[tex3]\frac{\partial N}{\partial x} = 0-4.1[/tex3]
[tex3]\frac{\partial N}{\partial x} = -4[/tex3]
e
[tex3]\frac{\partial M}{\partial y} = [y^2-√(4-x^2)]'[/tex3]
[tex3]\frac{\partial M}{\partial y} = 2y+0[/tex3]
[tex3]\frac{\partial M}{\partial y} = 2y[/tex3]
A região R é dada por 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 2 ( pois trata-se de um retângulo ).
Assim,
[tex3]\int\limits_{0}^{3}\int\limits_{0}^{2}(-4-2y) \ dydx = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{3}[-4y-y^2]_{0}^{2}dx = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{3}(-4.2-2^2+4.0+0^2)dx = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{3}(-8-4)dx = [/tex3]
[tex3]-\int\limits_{0}^{3}12dx = [/tex3]
[tex3]-12[x]_{0}^{3} = - 12(3-0)=-12.3=-36 [/tex3]
Portanto, [tex3]\oint(y^2+\sqrt{4-x^2})dx \ + \ [ln(y)-4x]dy=-36[/tex3]
Nota
A próxima vez , vê se coloca o gabarito!! Pois, caso você ou outro usuário não postar o mesmo, eu colocarei e SEM o desenvolvimento da solução!!!
Excelente estudo!
