Ensino Superior ⇒ [Álgebra Linear] Transformação Linear Tópico resolvido

[Professor]

Seja [tex3]T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3[/tex3]

dada por [tex3]T(x,y,z)=(x+y,x-2y,z)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T(x,y,z)=(x+y,x-2y,z)[/tex3]

e [tex3]S=\{(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1) \}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=\{(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1) \}[/tex3]

e [tex3]R=\{(1,1,0),(1,-2,0),(0,0,1)\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R=\{(1,1,0),(1,-2,0),(0,0,1)\}[/tex3]

bases do [tex3]\mathbb{R}^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbb{R}^{3}[/tex3]

, encontre:
[tex3][T]^S_R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][T]^S_R[/tex3]

e sua inversa.

[Cardoso1979]

Seja [tex3]T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3[/tex3]

dada por [tex3]T(x,y,z)=(x+y,x-2y,z)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T(x,y,z)=(x+y,x-2y,z)[/tex3]

e [tex3]S=\{(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1) \}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=\{(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1) \}[/tex3]

e [tex3]R=\{(1,1,0),(1,-2,0),(0,0,1)\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R=\{(1,1,0),(1,-2,0),(0,0,1)\}[/tex3]

bases do [tex3]\mathbb{R}^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbb{R}^{3}[/tex3]

, encontre:
[tex3][T]^S_R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][T]^S_R[/tex3]

.

Uma solução:

Como T é uma T.L. de IR³ em IR³ , [tex3][T]^S_R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][T]^S_R[/tex3]

é uma matriz 3×3 , digamos

[tex3][T]^S_R = \left[ \begin{array}{rrcccrr}
a_{11} &&& a_{12} && a_{13} \\
a_{21} &&& a_{22} && a_{23}\\
a_{31} &&& a_{32} && a_{33}
\end{array} \right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][T]^S_R = \left[ \begin{array}{rrcccrr}
a_{11} &&& a_{12} && a_{13} \\
a_{21} &&& a_{22} && a_{23}\\
a_{31} &&& a_{32} && a_{33}
\end{array} \right][/tex3]

.

Pelo que foi estudado ( explicado pelo seu professor, acredito eu tenha sido ) , [tex3]a_{11} \ , \ a_{21} \ e \ a_{31}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{11} \ , \ a_{21} \ e \ a_{31}[/tex3]

são as coordenadas de T( 1 , 0 , 0 ) na base R ; [tex3]a_{12} \ , \ a_{22} \ e \ a_{32}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{12} \ , \ a_{22} \ e \ a_{32}[/tex3]

são as coordenadas de T( 0 , 1 , 0 ) na base R e [tex3]a_{13} \ , \ a_{23} \ e \ a_{33}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{13} \ , \ a_{23} \ e \ a_{33}[/tex3]

são as coordenadas de T( 0 , 0 , 1 ) na base R , ou seja , devemos calcular T nos elementos da base S, temos:

[tex3]T(1,0,0)=(1,1,0)=a_{11}.(1,1,0) \ + \ a_{21}.(1,-2,0) \ + \ a_{31}.(0,0,1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T(1,0,0)=(1,1,0)=a_{11}.(1,1,0) \ + \ a_{21}.(1,-2,0) \ + \ a_{31}.(0,0,1)[/tex3]

;

[tex3]T(0,1,0)=(1,-2,0)=a_{12}.(1,1,0) \ + \ a_{22}.(1,-2,0) \ + \ a_{32}.(0,0,1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T(0,1,0)=(1,-2,0)=a_{12}.(1,1,0) \ + \ a_{22}.(1,-2,0) \ + \ a_{32}.(0,0,1)[/tex3]

e

[tex3]T(0,0,1)=(0,0,1)=a_{13}.(1,1,0) \ + \ a_{23}.(1,-2,0) \ + \ a_{33}.(0,0,1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T(0,0,1)=(0,0,1)=a_{13}.(1,1,0) \ + \ a_{23}.(1,-2,0) \ + \ a_{33}.(0,0,1)[/tex3]

.

Equivalentemente,

[tex3]\begin{cases}
a_{11} \ + \ a_{21} = 1 \\
a_{11} \ - \ 2a_{21} = 1 \\
a_{31} = 0
\end{cases} ; [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a_{11} \ + \ a_{21} = 1 \\
a_{11} \ - \ 2a_{21} = 1 \\
a_{31} = 0
\end{cases} ; [/tex3]

[tex3]\begin{cases}
a_{12} \ + \ a_{22} = 1 \\
a_{12} \ - \ 2a_{22} = - \ 2 \\
a_{32} = 0
\end{cases} \ \ e [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a_{12} \ + \ a_{22} = 1 \\
a_{12} \ - \ 2a_{22} = - \ 2 \\
a_{32} = 0
\end{cases} \ \ e [/tex3]

[tex3]\begin{cases}
a_{13} \ + \ a_{23} = 0 \\
a_{13} \ - \ 2a_{23} = 0 \\
a_{33} = 1
\end{cases} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a_{13} \ + \ a_{23} = 0 \\
a_{13} \ - \ 2a_{23} = 0 \\
a_{33} = 1
\end{cases} [/tex3]

Resolvendo os sistemas lineares acima, obtemos

[tex3]a_{11} = 1 \ , \ a_{21} = 0 \ , \ a_{31} = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{11} = 1 \ , \ a_{21} = 0 \ , \ a_{31} = 0[/tex3]

, [tex3]a_{12} = 0 \ , \ a_{22} = 1 \ , \ a_{32} = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{12} = 0 \ , \ a_{22} = 1 \ , \ a_{32} = 0[/tex3]

, [tex3]a_{13} = 0\ , \ a_{23} = 0 \ e \ a_{33} = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{13} = 0\ , \ a_{23} = 0 \ e \ a_{33} = 1[/tex3]

.

Portanto, obtemos

[tex3][T]^S_R = \left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 0 && 0 \\
0 &&& 1 && 0 \\
0 &&& 0 && 1
\end{array} \right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][T]^S_R = \left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 0 && 0 \\
0 &&& 1 && 0 \\
0 &&& 0 && 1
\end{array} \right][/tex3]

.

Obs.1

[tex3][T]^S_R[/tex3] é chamada matriz de T em relação às bases S e R.
.

Obs.2

Alguns ( pouquíssimos ) livros ou apostilas , usam a seguinte notação: ( T )[tex3]_{S,R}[/tex3]



Excelente estudo!

[Babi123]

Cardoso1979, VC brinca com isso .


Quais livros VC pode dar como referência para estudar álgebra linear?

[Cardoso1979]

Cardoso1979, VC brinca com isso .

Às vezes dou os meus "pulos" , rsrs, confesso que é uma disciplina bem chatinha( dependendo da pergunta ).

Cardoso1979,

Quais livros VC pode dar como referência para estudar álgebra linear?

Eu conheço estes três livros:


Álgebra Linear com aplicações , Howard Anton/Chris Rorres - 10° edição.

Álgebra Linear , Alfredo Steinbruch/Paulo Winterle - 2° edição.

Álgebra Linear , J. L. Boldrini - 3° edição.



Um complementa o outro, para mim são ótimos.

[Babi123]

Muito obgda Cardoso1979

[Cardoso1979]

Muito obgda Cardoso1979

Disponha