Ensino Superior ⇒ [Álgebra Linear] Transformação Linear Tópico resolvido

[Professor]

Seja [tex3]T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3[/tex3]

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[tex3]T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3[/tex3]

dada por [tex3]T(x,y,z)=(x+y,z,x-y)[/tex3]

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[tex3]T(x,y,z)=(x+y,z,x-y)[/tex3]

a) Determine uma base para [tex3]N(T)[/tex3]

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[tex3]N(T)[/tex3]

;
b) Determine a [tex3]dim(T)[/tex3]

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[tex3]dim(T)[/tex3]

;
c) [tex3]T[/tex3]

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[tex3]T[/tex3]

é um isomorfismo? Se sim encontre a sua inversa.

[Cardoso1979]

a) Determine uma base para N(T).

Observe

Uma solução:

No núcleo da transformação estão todos os elementos do IR³ que são transformados no elemento neutro do IR³ pela transformação T, ou seja:

T( x , y , z ) = ( x + y , z , x - y ) = ( 0 , 0 , 0 ) ⇔ [tex3]\begin{cases}
x + y = 0 \\
z = 0 \\
x - y = 0
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x + y = 0 \\
z = 0 \\
x - y = 0
\end{cases}[/tex3]

⇒

[tex3]\begin{cases}
x = 0 \\
y = 0 \\
z = 0
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x = 0 \\
y = 0 \\
z = 0
\end{cases}[/tex3]

Portanto, apenas o vetor nulo está contido no núcleo: N( T ) = Ker ( T ) = [ ( 0 , 0 , 0 ) ] = { ( 0 , 0 , 0 ) } , tanto faz!

Assim, temos que T é injetora ( pois o núcleo só contém o vetor nulo ) e dim N(T) = 0.

Nota

Um conjunto finito { [tex3]v_{1},v_{2},...,v_{n}[/tex3] } de vetores de um espaço vetorial V que contenha o vetor nulo é L.D. ( Dito isso , você conclui a resposta da letra a).




Definição do núcleo

N( T ) = ker ( T ) = { v [tex3]\in [/tex3] V ; T( v ) = [tex3]\vec{0}[/tex3] }.



Boa sorte e excelente estudo!