Seja [tex3]V=\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3}; x+y=z \}[/tex3]
e [tex3]W=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3};2x-y+3z=0\}[/tex3]
subespaços vetoriais.
a) Determine uma base [tex3]T[/tex3]
para [tex3]V \cap W[/tex3]
;
b) Determine o subespaços [tex3]V+W[/tex3]
e sua dimensão;
c) O vetor [tex3]v=(-2,5,3) \in V \cap W[/tex3]
? Caso afirmativo encontre [tex3][v]_T[/tex3]
Ensino Superior ⇒ [Álgebra Linear] Subespaços Vetorias Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Nov 2020
09
15:08
[Álgebra Linear] Subespaços Vetorias
Última edição: Professor (Seg 09 Nov, 2020 15:32). Total de 2 vezes.
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Cardoso1979 
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Mai 2021
11
19:46
Re: [Álgebra Linear] Subespaços Vetorias
Observe
Uma solução:
V ∩ W = { ( x , y , z ) ∈ IR³ / x + y - z = 0 e 2x - y + 3z = 0 }
Daí,
[tex3]\begin{cases}
x + y - z = 0 \\
2x - y + 3z = 0
\end{cases}[/tex3] →
[tex3]\begin{cases}
2x - y + 3z = 0 \\
x + y - z = 0
\end{cases}[/tex3] →
[tex3]\begin{cases}
2x - y + 3z = 0 \\
z = x + y
\end{cases}[/tex3]
Substituindo z = x + y na primeira equação ( primeira linha ), vem;
2x - y + 3x + 3y = 0
5x + 2y = 0
y = [tex3]\frac{5x}{2}[/tex3] , então , z = [tex3]\frac{7x}{2}[/tex3] .
Assim ,
V ∩ W = { ( x , y , z ) ∈ IR³ | y = 5x/2 e z = 7x/2 , x ∈ IR }
V ∩ W = { ( x , 5x/2 , 7x/2 ) | x ∈ IR }
V ∩ W = { x.( 1 , 5/2 , 7/2 ) | x ∈ IR }
Logo, V ∩ W = [ ( 1 , 5/2 , 7/2 ) ].
Portanto, V ∩ W é gerado por { ( 1 , 5/2 , 7/2 ) } e como esse conjunto é claramente L.I. , então é uma base de V ∩ W , ou seja , T = { ( 1 , 5/2 , 7/2 ) }.
Obs. Também está correto caso você proceda da seguinte maneira:
V ∩ W = { ( x , 5x/2 , 7x/2 ) | x ∈ IR }
V ∩ W = { [tex3]\frac{x}{2}[/tex3].( 2 , 5 , 7 ) | x ∈ IR }
Logo,
V ∩ W = [ ( 2 , 5 , 7 ) ].
Portanto, uma base T para V ∩ W é T = { ( 2 , 5 , 7 ) }.
Excelente estudo!
-
Cardoso1979
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13
13:03
Re: [Álgebra Linear] Subespaços Vetorias
Esqueci do sinal negativo em y = [tex3]\frac{5x}{2}[/tex3] , por causa de um simples erro, todo o restante do desenvolvimento ficou comprometido, depois corrijo o restante do desenvolvimento.Cardoso1979 escreveu: ↑Ter 11 Mai, 2021 19:465x + 2y = 0
y = [tex3]\frac{5x}{2}[/tex3] , então , z = [tex3]\frac{7x}{2}[/tex3] .
-
Cardoso1979
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Mai 2021
13
19:35
Re: [Álgebra Linear] Subespaços Vetorias
Observe
Uma solução:
V ∩ W = { ( x , y , z ) ∈ IR³ / x + y - z = 0 e 2x - y + 3z = 0 }
Daí,
[tex3]\begin{cases}
x + y - z = 0 \\
2x - y + 3z = 0
\end{cases}[/tex3] →
[tex3]\begin{cases}
2x - y + 3z = 0 \\
x + y - z = 0
\end{cases}[/tex3] →
[tex3]\begin{cases}
2x - y + 3z = 0 \\
z = x + y
\end{cases}[/tex3]
Substituindo z = x + y na primeira equação ( primeira linha ), vem;
2x - y + 3x + 3y = 0
5x + 2y = 0
y = [tex3]- \frac{5x}{2}[/tex3] , então , z = [tex3]- \frac{3x}{2}[/tex3] .
Assim ,
V ∩ W = { ( x , y , z ) ∈ IR³ | y = - 5x/2 e z = - 3x/2 , x ∈ IR }
V ∩ W = { ( x , - 5x/2 , - 3x/2 ) | x ∈ IR }
V ∩ W = { x.( 1 , - 5/2 , - 3/2 ) | x ∈ IR }
Logo, V ∩ W = [ ( 1 , - 5/2 , - 3/2 ) ].
Portanto, V ∩ W é gerado por { ( 1 , - 5/2 , - 3/2 ) } e como esse conjunto é claramente L.I. , então é uma base de V ∩ W , ou seja , T = { ( 1 , - 5/2 , - 3/2 ) }.
Obs. Também está correto caso você proceda da seguinte maneira:
V ∩ W = { ( x , - 5x/2 , - 3x/2 ) | x ∈ IR }
V ∩ W = { [tex3]\frac{x}{2}[/tex3].( 2 , - 5 , - 3 ) | x ∈ IR }
Logo,
V ∩ W = [ ( 2 , - 5 , - 3 ) ].
Portanto, uma base T para V ∩ W é T = { ( 2 , - 5 , - 3 ) }.
Outra maneira:
Vamos obter a solução do sistema linear homogêneo:
[tex3]\begin{cases}
x + y - z = 0 \\
2x - y + 3z = 0
\end{cases}[/tex3] ⇔
[tex3]\begin{cases}
x + y - z = 0 \\
- 3y + 5z = 0
\end{cases}[/tex3]
De onde obtemos y = [tex3]\frac{5z}{3}[/tex3] e x = [tex3]- \frac{2z}{3}[/tex3] , com z [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3] livre.
Assim,
[tex3]V ∩ W = \{ ( x , y , z ) \in \mathbb{R}^3/ ( x , y , z ) = \left(-\frac{2z}{3},\frac{5z}{3},z\right) \ , z\in \mathbb{R} \}[/tex3]
[tex3]V ∩ W = \{ ( x , y , z ) \in \mathbb{R}^3/ ( x , y , z ) = \frac{z}{3}.(-2,5,3) \ , z\in \mathbb{R} \}[/tex3]
Logo,
V ∩ W = [ ( - 2 , 5 , 3 ) ].
Portanto, uma base T para V ∩ W é T = { ( - 2 , 5 , 3 ) }.
Excelente estudo!
Uma solução:
V ∩ W = { ( x , y , z ) ∈ IR³ / x + y - z = 0 e 2x - y + 3z = 0 }
Daí,
[tex3]\begin{cases}
x + y - z = 0 \\
2x - y + 3z = 0
\end{cases}[/tex3] →
[tex3]\begin{cases}
2x - y + 3z = 0 \\
x + y - z = 0
\end{cases}[/tex3] →
[tex3]\begin{cases}
2x - y + 3z = 0 \\
z = x + y
\end{cases}[/tex3]
Substituindo z = x + y na primeira equação ( primeira linha ), vem;
2x - y + 3x + 3y = 0
5x + 2y = 0
y = [tex3]- \frac{5x}{2}[/tex3] , então , z = [tex3]- \frac{3x}{2}[/tex3] .
Assim ,
V ∩ W = { ( x , y , z ) ∈ IR³ | y = - 5x/2 e z = - 3x/2 , x ∈ IR }
V ∩ W = { ( x , - 5x/2 , - 3x/2 ) | x ∈ IR }
V ∩ W = { x.( 1 , - 5/2 , - 3/2 ) | x ∈ IR }
Logo, V ∩ W = [ ( 1 , - 5/2 , - 3/2 ) ].
Portanto, V ∩ W é gerado por { ( 1 , - 5/2 , - 3/2 ) } e como esse conjunto é claramente L.I. , então é uma base de V ∩ W , ou seja , T = { ( 1 , - 5/2 , - 3/2 ) }.
Obs. Também está correto caso você proceda da seguinte maneira:
V ∩ W = { ( x , - 5x/2 , - 3x/2 ) | x ∈ IR }
V ∩ W = { [tex3]\frac{x}{2}[/tex3].( 2 , - 5 , - 3 ) | x ∈ IR }
Logo,
V ∩ W = [ ( 2 , - 5 , - 3 ) ].
Portanto, uma base T para V ∩ W é T = { ( 2 , - 5 , - 3 ) }.
Outra maneira:
Vamos obter a solução do sistema linear homogêneo:
[tex3]\begin{cases}
x + y - z = 0 \\
2x - y + 3z = 0
\end{cases}[/tex3] ⇔
[tex3]\begin{cases}
x + y - z = 0 \\
- 3y + 5z = 0
\end{cases}[/tex3]
De onde obtemos y = [tex3]\frac{5z}{3}[/tex3] e x = [tex3]- \frac{2z}{3}[/tex3] , com z [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3] livre.
Assim,
[tex3]V ∩ W = \{ ( x , y , z ) \in \mathbb{R}^3/ ( x , y , z ) = \left(-\frac{2z}{3},\frac{5z}{3},z\right) \ , z\in \mathbb{R} \}[/tex3]
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Logo,
V ∩ W = [ ( - 2 , 5 , 3 ) ].
Portanto, uma base T para V ∩ W é T = { ( - 2 , 5 , 3 ) }.
Excelente estudo!
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