Ensino Superior

Escreva o código da expressão fechada da seguinte recorrência

A0 = 17

A1 = 15

AN = -9(an-1) - 14(an-2)

Seja [tex3]A(x)[/tex3] da forma:
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n[/tex3]
Então:
[tex3]A(x)=a_0+a_1x+\sum_{n=2}^\infty a_n x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=17+15x+\sum_{n=2}^\infty \[-9a_{n-1} - 14a_{n-2}\] x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=17+15x-9\sum_{n=2}^\infty a_{n-1}x^n-14\sum_{n=2}^\infty a_{n-2} x^n[/tex3]
Fazendo a seguinte substituição na primeira soma, [tex3]\begin{cases}
n-1=k \\
n=2\implies k=1
\end{cases}[/tex3], temos:
[tex3]A(x)=17+15x-9\sum_{k=1}^\infty a_{k}x^{k+1}-14\sum_{n=2}^\infty a_{n-2} x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=17+15x-9\[a_0x-a_0x+\sum_{k=1}^\infty a_{k}x^{k+1}\]-14\sum_{n=2}^\infty a_{n-2} x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=17+15x-9\[-a_0x+\sum_{k=0}^\infty a_{k}x^{k+1}\]-14\sum_{n=2}^\infty a_{n-2} x^n[/tex3]
[tex3]A(x)=17+15x+9a_0x-9x\sum_{k=0}^\infty a_{k}x^{k}-14\sum_{n=2}^\infty a_{n-2} x^n[/tex3]
Como a variável não altera o valor da soma, temos:
[tex3]A(x)=17+15x+153x-9xA(x)-14\sum_{n=2}^\infty a_{n-2} x^n[/tex3]
Fazendo a seguinte substituição na soma remanescente, [tex3]\begin{cases}
n-2=k \\
n=2\implies k=0
\end{cases}[/tex3], temos:
[tex3]A(x)=17+15x+153x-9xA(x)-14\sum_{k-0}^\infty a_{k} x^{k+2}[/tex3]
[tex3]A(x)=17+15x+153x-9xA(x)-14x^2\sum_{k-0}^\infty a_{k} x^{k}[/tex3]
[tex3]A(x)=17+15x+153x-9xA(x)-14x^2A(x)[/tex3]
[tex3]A(x)+9xA(x)+14x^2A(x)=17+168x[/tex3]
[tex3]A(x)(1+9x+14x^2)=17+168x[/tex3]
[tex3]A(x)={17+168x\over 1+9x+14x^2}[/tex3]
[tex3]A(x)={17+168x\over (7x+1)(2x+1)}[/tex3]
Utilizando frações parciais:
[tex3]{17+168x\over (7x+1)(2x+1)}={R\over 7x+1}+{S\over 2x+1}[/tex3]
[tex3]{17+168x\over (7x+1)(2x+1)}={2Rx+7Sx+R+S\over( 7x+1)( 2x+1)}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
168=2R+7S \\
17=R+S
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
R=-{49\over5} \\
S={134\over5}
\end{cases}[/tex3]
Logo:
[tex3]A(x)={17+168x\over (7x+1)(2x+1)}[/tex3]
[tex3]A(x)=-{49\over5}\cdot{1\over 7x+1}+{134\over5}\cdot{1\over 2x+1}[/tex3]
[tex3]A(x)=-{49\over5}\cdot{1\over 1-(-7x)}+{134\over5}\cdot{1\over 1-(-2x)}[/tex3]
Ambos são somas de P.G.'s infinitas, logo:
[tex3]A(x)=-{49\over5}\sum_{n=0}^\infty(-7x)^n+{134\over5}\sum_{n=0}^\infty(-2x)^n[/tex3]
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty-{49\over5}(-7)^nx^n+{134\over5}(-2)^nx^n[/tex3]
[tex3]A(x)=\sum_{n=0}^\infty\[-{49\over5}(-7)^n+{134\over5}(-2)^n\]x^n[/tex3]
Comparando coeficientes, temos:
[tex3]a_n=-{49\over5}(-7)^n+{134\over5}(-2)^n[/tex3]

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Expressão Fechada

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